IJ--IJ-.I
et l'on peut écrire le second membre
'/pl
\/-lx, v/Fi ?i V^ ( F — Fi ) vAf — (^1 ) ?i
f/Hi
L'intégrale est précisément celle (]ue nous avons déterminée ( n" .'i34); elle a pour valeur
Le second membre de l'équation conditionnelle est donc
itJL-J/, -+-/«! =
v'Truv'f^
il est identique au premier.
CALCUL DES PROBABILITÉS. 2'i I
On pourrait reprocher aux démonstrations précédentes de ne pas prouver que l'expression obtenue pour IIp.^ est nécessairement la plus générale qui convienne au cas considéré. La démonstration qui sera exposée un peu plus loin, au n° 351, ne présente pas le même défaut.
346. Probabilité totale du second genre. — C'est la probabilité pour que le joueur soit ruiné en a parties; c'est donc la quantité
I H- 'ÎJ'-'I'l -*- '"l■
En posant
l'intégrale devient
f ""h IN'
ni-
ir:
" rn
djr.
Supposons le jeu désavantageux; '-^^ est négatif; posant alors
mil/, I X H i = y.
il vient
d'où
On a alors l>
dy
dj =
ydy
Si dans la dernière intégrale on pose
a:i2 on a
-i*'Vi
La probabilité de lu ruine en [t. fuirlies est donc
lli?l
On oltlifiidrail la iui'iir' Ibrmuk' en supposant le jeu avantageux. Si l'on didérentie cette formule par rapport à [x, on obtient 1I^,„,, résultat évident.
347. La probabilité se calcule très facilement avec l'aide des Tables de la fonction
e(y) = ^ f e-y'dy.
Quatre cas sont à distinguer :
Le Jeu est désavantageux ('^i^o) et m est inférieur à la valeur absolue de [t.'\/, ; alors
""-il. ^ , .
2 ^ \ ^Wi J]
Le jeu est désavantageux et m est supérieur à la valeur absolue de aj/, ; on a
22V v>?. y L^ ^ \ \/f^ yJ
Le jeu est avantageux (1, > o) et /n est inférieur à [a.|>, ; alors
?•"[! + lof ^^L^J^Xl.
Le jeu est avantageux et m est plus grand que [x.];, ; on a
-' 'ft/'^Jti^
VM?i
CALCUL DES PUOBABILITÉS. 233
