Cas où aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu

— Supposons qu'aucune limite ne soit tix«'>e pour la durée du jeu; si celui-ci est désavantageux, u.j', tend vers — co et l'on a

kl. '-'""'-

La prohabilité de ruine est une certitude; nous le savions déjà, puisque la probabilité de ruine est une certitude même quand le jeu est équitable.

349. Si le jeu est avantageux, l'expression de P,i„, devient, en supposant [/. infini,

telle est rexpression de la probabilité totale de ruine. P„ ,„. 3.Î0. La durée moyenne du jeu est la valeur de l'intégrale

Si l'on pose elle devient

•* iU.'l/,-t-/J

Elle est de la forme connue (n" 336)

l'expression considérée se réduit donc à

la

2wy, Swi'i*,

234 ' • l'.M m 1 ii-it.

La durée inoyenno du jeu a donc [xiiir valeur

Ce (|iii précède suppose le jiMi désavantageux; lorscpic le jeu est équitable, la <liirée moyenne est inlinie. Il en esl de même à plus forte raison (|uand le jeu est avan(ai,'eux, ear alors il y a une prol)al»ilifé finie pour (|ue le jeu ne se termine pas.

;{.")! . Distribution des probabilités. — On peut obtenir l'expression des probabilités du seeond genre en employant une méthode qui a l'avantage de l'aire connaître la distribution des probabilités, c'està-dire la valeur des probabilités relatives ii tous les cas possibles.

Nous allons d'abord chercher la probabilité pour que, à la u.'""'' partie, le joueur ail pci'du la somme m —y (qui est un gain si )' est supérieur à m).

Si le joueur possédait une fortune infinie, la probabilité pour que sa porte soit m — y à la tx'''""' partie serait (n° 235)

ll^'Vi + "'-.rl'

(I) nJjjL,;;,-;, —

La probabilité cherchée est égale à cette quantité diminuée d'une quantité correspondant à la possibilité de la ruine du joueur avant la a"'"*" partie, quantité que nous allons calculer.

Si le joueur supposé ruiné à la ix,'™" partie pouvait continuer à jouer, la probabilité pour (jue, dans les u. — a, parties suivantes, il gagne la somme y et pour que, par suite, sa perte soit m — y k la u.'"'""' partie serait ^^u.„^.,-

D'autre part, la probabilité pour que le joueur soit ruiné à la ,u.,'™'' partie est l\^,,„.

La possibilité de la ruine du joueur à la [jl,''^""' partie diminue donc, d'après le principe de la probabilité composée la probabilité îtj^„,^,, de la quantité

lin,,,,, X ro(,,|x,,. rf,U|,

et, puisque [/., peut prendre toutes les valeurs de zéro à [j., la probabi-

CALCUL DES PROliABILITÉS. ■2^5

lité cherchée est, en vertu du principe des probabilités totales, D'après la formule (i), on a

^ îi

^ti-H,,— ) t' ^\l.—\).„y

La probabilité cherchée est donc

L'intégrale a pour valeur ^^l,„^,. En elTet, la perte m + jne pouvant être atteinte sans que la perte m le soit d'abord, la probabilité pour que la perte soit m + r à la a''""' partie, la perte m ayant été pour la première fois atteinte à la ul,''""" partie est, en vertu du principe des probabilités composées,

r X ro,,

"M-I^iJ-

La perte m pouvant être pour la première fois atteinte à toutes les parties depuis zéro jusqu'à u., la probabilité ro^.,,„^-;> pour que la perte soit m -\- y à la ul"'""' partie est, en vertu du principe des probabilités totales,

fM probabilité pour que la perte soit m — y à la a"*""' partie est donc

IM-'j/,

V/TTV'p.cp,

V'i^Vf^?!

iv>,

352. La probabilité pour que y soit compris entre y, et 3= est

.>ty-

v/Tiv/^cpi

UU\ I.. liAClIKI.IKK.

Kn posant ilaiis la première intégrale ot dans la seconde

y -hm — ix<\>, ^

la probabilité a pour expression

VT^" -- V'Tr ^,v, + m-|JL'j/,

Ces intégrales se calculent aisément à l'aide des Tables de la l'onction 0.

'.\h'.\. En posanty, = o on obtient la probabilité totale i — P|j.,„, pour que le joueur ne soit pas ruiné

J^ / e-'^d',.- ,- e-''dl.

sfr.-'-^ VTi >/„,-[jL.j/,

On en déduit

En difTérentiant cette expression par rapport à a, on obtient la probabilité élémentaire n^„,.

35'!. Étude de l'espérance mathématique. — L'espérance négative est la somme de deux ternies, l'un — P/« relatif au cas où le joueur est ruiné et l'autre

relatif au cas où le joueur a perdu une somme comprise entre zéro et m.

L'espérance positive a pour valeur

L'espérance totale est la somme des trois termes précédents.

355. Si '|, est positif (jeu avantageux) et si u.^]^^ est très grand et très supérieur à m, l'espérance totale a pour valeur approchée

ou

P„,„ étant la prohabilité totale de ruine pour a infini.

Cette formule très simple montre que, si le nonihre maximum des parties est très grand, l'espérance totale est proportionnelle à ce nombre. et ii la probabilité pour que le joueur ne soit pas ruiné.

Si 'l», = o, l'espérance totale est nulle, résultat évident.

Si i, est négatif et si — u.']/, est très grand, l'espérance totale est — m.

.556. Cas général de non-uniformité. — Il ne semble pas possible d'obtenir l'expression des probabilités du second genre dans le cas général de la non-uniformité; le problème ne comporte, au point de vue du calcul des probabilités, aucune complication spéciale, mais il conduit, quelle que soit la méthode employée, à des difficultés purement mathématiques qui paraissent insurmontables.

Il est cependant un cas plus général que ceux que nous avons considérés où les probabilités conservent une expression simple :

Nous supposerons que les fonctions '^{\>-) et ç([J<-), qui désignent l'une l'espérance totale et l'autre l'instabilité, soient constamment proportionnelles.

On a alors '>]/(«.) = /{•^(ui.), et, comme 9([J^) est constamment croissant, ^^(p-) est constamment croissant ou décroissant suivant le signe de k.

Si k est nul, ■l{\t-) = o et le jeu est équitable. Le jeu considéré est

2^8 I,. r.\( 111 1 Mil.

donc plus j^éncral (iiriiii jeu ('(luitalilc (Hi('lcoii(|iu' admellanl l'iiidépendance (n" .■{.'}7).

Lorsque ^(\t-) est proportioniiol à u., le jeu est uniloriiK^. Le jeu que nous considérons est donc plus général (|irnii jeu iinirornie ([uid i\u"\\ soit.

.■{.">7. La perle m ne peut être atteinte sans que la perte m, le soit d'abord si m, est inférieur à m.

La probabilité pour que la perte soit m à la [j."'"'' partie, la perte m, ayant été pour la première ibis atteinte à la a,''""' partie, est, en vertu du |)riiicipe des probabilités composées,

"o,(J.i,«ii '^H, ,[/.,/« — '",•

Celle expression esl analon;iie à celle du n''.'{''i2; mais nous ne su|)posons plus maintenant que les probabilités tu et II, dans l'intervalle (jl», uLp, ne dépendent que de [Xp— [t.„ (ce serait admettre l'uniformité), nous supposons que ces probabilités dépendent plus généralement de U.J et uLp.

La perte m, pouvant être atteinte à toutes les parties depuis zéro jusqu'à a, la probabilité pour que la perte soit m à la tji.''""' partie est, en vertu du principe des probabilités totales,

Telle est l'équation de condition ii laquelle doit satisfaire la fonction II.

3.18. Les probabilités ra sont connues (n" 228); on a, par exemple, puisque '|(u.) = /••p(u.).

!*[Ç|[U — ?((J.,ll-f-m-m,j2

g <piH)-çijj.,l

\/7r V^cp ( |x) — ç)(^, )

(la valeur de la fonction 9 dans un intervalle [a,, ij. est o(ul) — ^([Ji-i) puisque la fonction s se forme par addition (n" 228).

Il est facile de voir que l'équation conditionnelle est vérifiée si

CALCUL DES PliOBABILlTÉS. 239

l'on a

mo'(iJ.)e T~

Uo,iJi,m — ;= ' 7=- •

Cette équation conditionnelle devient en effet

le second membre peut s'écrire

g— ;<'Ç(JJL) + !mi

l'intégrale est un cas particulier de celle du n" 341 et elle a pour valeur

\/7T\/oTk)

Le second membre de l'équation conditionnelle est donc

il est identiquement égal au premier.

La probabilité pour que la ruine du joueur ait lieu exactement à la u.'""""" partie a donc pour expression

mo'{iJ.)e ^'i^'

lia. m = p , dij. ;

elle est indépendante de l'ordre des parties qui précèdent la u.'""'".

359. La probabilité pour que le joueur soit ruiné en u. parties s'obtient en intégrant l'expression précédente entre zéro et u.; on

a/jO !.. II.VC.IIKI.IHU.

obtient Hnnloinent

P^,„, = -)= f c->' rfX -+- -)= e-""* / ' e-^' (a ;

cette probabilité se calcule sans peine par les Tables de la fonction

;j(iO. Supposons qu'aucune limite ne soit fixée pour ladinéedujeu; si celui-ci est avantageux, c'est-à-dire si i- est positif, et si de plusçp(ui.) croit iiidcniiiinent avec a, on a

Cette probabilité ne dépend pas de la fonction 9( u-^.

Si X- est négatif et si ç>(ij.) croit indéfiniment, on aP«,„=i.

Kniin, si ziu.) ne tond pas vers l'infini avec u., on a

."{(il . La durée movenne du jeu est la valeur de l'inté"rale

dix.

On ne peut la calculer sans préciser la fonction '^{['■)- Si Â- est positif, la durée moyenne est infinie, puisqu'il existe alorsune probabilité finie pour que le jeu ne se termine pas.

Les problèmes de la distribution de la probabilité et de la détermination des espérances niatbématiques se traitent comme dans le cas du jeu uniforme; je ne crois pas utile de m'arrêter à ces questions.

.■}62. Écart maximum. — Supposons que le joueur A ait une fortune infinie et qu'il joue a parties aux conditions du problème pré-

CALCUL DES PROBABILITÉS. a/Jl

cèdent. Quelle est la probabilité pour que la perte maxima atteinte dans le courant des a parties ait pour valeur m]

La probabilité cherchée est évidemment — r-^ ou

[//n-Ao((l.l]»

e~'-' ci A

sJt: vMfÔ \/'

lorsque le jeu est équitable {k = o), l'expression de la probabilité se réduit à

La valeur moyenne de la perte maxima est l/-^-

L'espérance d'un joueur H qui toucherait la plus grande perte serait

donc t/^-r^-

L'espérance d'un joueur qui toucherait la plus grande perte et le plus grand gain, c'est-à-dire la somme des deux plus grands écarts,

/o(fx)

serait 2i/ -^-^•

Nous verrons plus loin (n° 385) que le joueur H' qui devrait toucher le plus grand des deux écarts aurait pour espérance - \/ ^^-z—-

36.3. Probabilités connexes du second genre. — Nous dirons ([u'il y a connexité du second genre quand les conditions du jeu à chaque partie dépendent de la perte maxima que le joueur a subie avant cette partie.

Nous supposerons que le jeu soit équitable et caractérisé par la fonction d'instabilité o, jusqu'à ce que la perte m, soit atteinte; ensuite le jeu sera caractérisé par la fonction d'instabilité Oo (o^ n'a pas la même signification que dans les questions précédentes, où il désignait la fonction d'instabilité de la seconde partie). Quelle est alors la probabilité pour que le joueur soit ruiné exactement à la a"""" partie?

La probabilité pour que le joueur perde pour la première fois la B. — I. 3i