I.. luciiiJ.irii
L'ccMit <»,()V-!- ■ • \ 2l/^7 osl relui (|iii a la plus jj;ran(l<' probabilité d'olri' rt'carl maxinumi dans le cours dos u. ('•prcnvos.
I.'fcarl (|iiadrarK|ii(< 0,-07 1 ... v'2Ï/-iy corrospond *'"' I'"'"' d'in- Ib'xion de la coiirlx- des [trobabiliti's fiiNdos.
|j> siM'ond écart probabb' (0,8062... v2-p/j «'^t ctdiii <|iii a égale probabilité d'èlre ou de ne pas être dépassé dans le cours dos UL éprouves.
Le second écart moyen (o,88G2... sj'^^pq) est la valeur moyoïine du \i\w> grand écart (|ni so proiiuit dans le cours des ;/ épreuves.
''lO."). Cas général de non-uniformité. — Il semble diriicile de résoudre les |)riiblènn>s (|ue nous venons de traiter quand le jeu n'est pas unilbrnie. sauf dans le cas où l'on suppose comme au n" 3.)G (|ue la fonction d'instabilité ç(fJL) et l'espérance totale '\f{\>-) sont constamment |)roportionnelles, de sorte que '\i{\t.) = Acp(a).
Rappelons que le jeu considéré est plus général qu'un jeu équitable non uniforme (n" ;}80), puisqu'on obtiendrait ce dernier jeu en supposant que k est mil.
Il est également plus général (|u'un jeu (juelconque uniforme, puisqu'on obtiendrait ce dernier jeu en supposant que cp(ij.)=: u-cp,.
Le jeu considéré est donc plus général que ceux qui ont été étudiés dans ce Chapitre.
Nous résoudrons d'abord le problème suivant :
Le joueur A posséclanl la somme m et le joueur lî la somme n, quelle est la probabilité pour que le jeu se termine à lu ij}""^'' partie par la ruine du joueur A?
Si le joueur B possédait une l'ortune infinie, la probabilité de ruine du joueur A à la ul'""'' partie serait (n° 358)
[<y(l/.H-m|' •lui.m,»= p ^= '1^.
Lorsque le joueur B possède la somme n, la probabilité cherchée a
CALCUL DES PnOBABILITÉS. 27 1
pour valeur
i p{»m+in)k\\ „(8m+l2H)*rT u
T^ c' -"iX.Sm+i/i,» t: •*t)..5m+6n,ao -(-■...
406. Nous allons employer une démonstration analogue à celle dont nous avons fait usage dans le cas de runifonnité (n" 392). La proliahilitè !![;.,,„„ est égale à la probabilité II(i,,„,« diminuée de la probabilité relative aux cas où le joueur B est ruiné avant la fin des a parties.
Le joueur B peut être ruiné ii la partie d'ordre a, , (a, <u.); cette éventualité, d'après le principe de la probabilité composée, diminue n|i.,„,« de la quantité
car, si le joueur B ruiné à la a'f""' partie pouvait continuer à jouer, la probabilité pour qu'il ruinât le joueur A à la y.'"'"' partie serait ^^^,^,,,+m,^ La ruine du joueur B pouvant avoir lieu depuis i»., =0 jusqu'à a, = (x, la possibilité de la ruine antérieure du joueur B diminue la probabilité IIijL m . de la quantité
j --|i,,/l,m-Up.,,IJ:,m+n,» "f^f '-'0
On doit donc avoir
Telle est l'équation de condition à laquelle doit satisfaire la fonction n.
407. Il est facile de voir (ju'elleest vérifiée identiquement en attribuant aux diverses quantités II les valeurs indiquées. La probabilité i^iji.w.m s'obtient en remplaçant, dans l'expression de II|i,,„,„, /// par //, // par m et ^■Ç'(a) par — X-ç>(a).
La probabilité 11^,^,^, „,+„,, est
(la valeur de la fonction o dans un intervalle (ji., , [a est o(a) — o(a, ), puisque la fonction z. se forme par addition (§ '228).
272 I. i!.u:iii:i,ii:it.
I.'iiili'j;r;ili' ili' r('(|iialioii cdiKlilioiuR'llc l'sl une somme d'iiilegrales di' la Ibriiic
;< !f iHl-yi|i.,i:-t-;, ;' |<yin,>-n,ii
Pour démontrer celle dernière éi,'alilé, il faut remarquer (|u'on peul l'écrire
___iL__ __£L
./ s/7Î[ç(,a) — 9(fi,)] v''9(h) — 9(Hi) V^®(/^i) V''?(^^l)
Cette égalité a été démontrée (n" ^i'il). L'ideiitificalion des deux membres de l'équation conditionnelle ne présente aucune diCficulté; nous ne croyons pas utile d'en écrire les formules, qui soni assez compliquées.
L'expression que nous avons donnée de la probabilité llii.,„.„ de la ruine du joueur A à la a"'""' partie, c'est-à-dire de la probabilité élémentaire du troisième genre, est exacte.
On doit remarquer (jue cette probabilité est proportionnelle à 9'(,".)é/u-. c'esl-à-dire à Tinstabilité de la dernière partie et indépendante de l'ordre des parties antérieures.
On pourrait, sans qu'il en résulte aucune nouvelle difficulté, employer pour la démonstration de notre formule le raisonnement qui a été exposé au paraj^raphe ;J94.
408. Probabilité totale. — Le joueur X possédant la somme m et le joueur B la somme n, quelle est la probabilité pour que le jeu se termine avant u. parties par la ruine du joueur A.
La probabilité cherchée dite probabilité du troisième genre Pjx,„,.„
est la somme des probabilités 11^. „,,„ de zéro à u.; ou a donc
— e'"* Ç n^.,„+2„,. d^ -+- e;"«+">u- r n(,,3,„+2,,- ^/fi - . . . . La probabilité cherchée est donc
— p pinkV»
409. Les quantités P^.;„ se calculent par la formule connue (§ 359)
dont la valeur numérique s'obtient immédiatement par les Tables de la fonction
0(j) = -^ f e-r'dy.
410. Cas où aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu. — Si aucune limite n est fixée pour la durée du jeu. quelle est la probabilité de ruine du joueur A?
Supposons d'abord que, a augmentant indéfiniment, ç([^) tende vers une limite fixe 9(3;); alors la probabilité totale de ruine du jnueur A est
— p pink p
. ^(4m-i-in)*-p ^(4m+8n)*p , , l
^^ *^ * go ,3m-4- 2n, « ^ ^ flc,3w-+-Vn,3C i^ • - • *
les quantités telles que P.l ayant pour valeur
e-'-' dl.
v'sc
La probabilité pour que le jeu prenne fin est
•in'\ I,. i!\c.iir.i.ii".ii.
cl la probahililt' pour qu'il dure ituléliniiucnt a jidui' «expression
' ■■ ao ,ni,n W « ,n,ui •
il i. Supposons uiaiuli'uaut (juo 9([Ji) croisse iudétiuiinenl avec jjl, et (|iu' lo jou soit avanlagoux pour le joueur A, (X>-o); on a, dans ces eondilions.
»-Us
elpar suite
* »,tn,n — ^ ^ 1^ ^
g— (8/H+8rt)A- I . ^— (lîm-+-8n)A'
Les ternies de rang impair forment une progression géométrique de même (jue les termes de rang pair.
La probabilité de ruine est
' "■'"■" — j g-(4m+Wi)'.- ■
La probabilité de ruine du joueur B est de même
g — (4m-t-4rt)A-
Ces probabilités ne dépendent pas de la fonction cp([J.). Si ^- est négatif, la probabililé de ruine du joueur A est
On pourrait aussi obtenir ces formules par un raisonnement analogue à celui (lu n" 398.
î 12. Si le jeu est équitable, c'est-à-dire si /c = o, les dernières formules deviennent indéterminées; en leur appliquant la régie connue on obtient
Si o(a) lorsque a augmente indéfiniment tend vers une valeur fixe oCcc), la probabilité de ruine du joueur A est
''"- JZ.
CALCUL DES PROCAIilLITÉS. 'irO
413. Distribution des probabilités. — H iiuus reste à étudier la distribution des probabilités et l'espérance mathématique. La seconde question se déduit de la première et celle-ci peut être traitée comme dans le cas des probabilités du second genre. Cherchons par exemple la probabilité pour rpie le joueur A perde la somme ,r à la
Si les deux joueurs a^-aient une fortune infinie, la probabilité serait ^^L,xl il faut retrancher de cette quantité les probabilités qui correspondent aux cas où les joueurs seraient ruinés avant que ij. parties soient jouées.
Le joueur A peut être ruiné à la a'f"" partie; cette éventualité a pour probabilité Hjj, „j,„ et elle diminue la probabilité cr^ ^ de la quantité Ilfi^OT.n X îiijj..^ ,„,^, (on suppose l'uniformité). La ruine du joueur A pouvant se produire à toutes les parties de zéro à a, la possibilité de la ruine de ce joueur diminue la probabilité cTjj.,^ de la quantité
I "(Jl,.«i,nWsi— [1,,— iwi— Il "f^I-
La possibilité de la ruine du joueur B diminue de même la probabilité C)(i j; de la quantité
--[ij.n.m^p.— p-i.in+j:) ^^^1*
La probabilité pour que le joueur A perde la somme x à la a'""""' partie est donc
■ Il '^(l
c'est-
■à-dire, tous calculs faits,
ij + a-i,!' ■.•!;, im— Il i-2m — x-l-lii, i':
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