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car, si le joui-ur B ruiné à la a','""" partie pouvait continuer à jouer, la
262 I.- haciiki.ik.u.
prohaMIilé pour (|ii'il riiiii;il le joueur A à la a''""' partie serait
La ruine du joueur H pouvant avoir lieu depuis [i., =0 jus(iu'à a, — u.. la possihililé de la ruine antérieure du joueur B diminue la prohahilite ll(i,,„.. de la quantité
On diiii donc avoir
nji,,,,.!, — Hn,,,,,, — / — |j,,,«,H/"iJl-[i,,m+«,« ^f^l-
Telle est l'équation de condition à laquelle doit satisfaire la fonction II.
3y;{. 11 est facile de voir qu'elle est vérifiée identiquement on attribuant aux diverses quantités II les valeurs indiquées. La probabilité îî|i.H./« s'obtient, en remplaçant, dans l'expression de IIij,,,,,, m par «, n par m et 1, par — '\),. L'intégrale de l'éciuation conditionnelle se décompose en une somme d'intégrales de la fomn;
i(l-li,l'!/,+:,P i[J.,^, + ;,l»
afji,,
dont la valeur
a été précédemment déterminée (n° 34.5). L'identification des deux membres de l'équation ne présente aucune difficulté; nous ne croyons pas utile d'en écrire les formules, qui sont assez compliquées.
L'expression que nous avons donnée de la probabilité II,;,,,, „ de ruine du joueur A à la u.'""'' partie, c'est-à-dire de la probabilité élémentaire du troisième genre, est exacte.
394. On peut aussi la démontrer en suivant une autre méthode, en modiliant quebiue peu le raisonnement employé dans le cas de la symétrie (n" 376).
Remarquons d'abord que des égalités
n(i,x,. = — p :=r- dix, i^(jL.x.« = — 7= ;=^ f/,u-
on déduit
En première approximation, on peut poser
Cette formule donne pour ^^,„,,n une valeur trop forte; nous devons retrancher du second membre les probabilités relatives aux cas où le joueur B, d'abord ruiné, aurait ensuite ruiné le joueur A à la a'*'""' partie s'il avait pu continuer à jouer.
Si le joueur B, lorsqu'il est ruiné, pouvait continuer à jouer, la probabilité pour qu'il ruine le joueur A à la a'*'"'*' partie, c'est-à-dire pour qu'il gagne la somme n -\- m précisément à la u.'""'" partie, serait, d'après la formule (i), égale au produit par
de la probabilité pour qu'il perde la somme n A- m précisément à la y^iiiiie partie.
Dans ce dernier cas, sa perte totale serait -m -\- m; nous devons donc poser en seconde approximation
i'Vt ' n-l- "/ )
Si l'on veut exprimer l\j„,„ en fonction des seules probabilités II, il suffit de remplacer Q par sa valeur (i). On obtient alors
Les termes suivants du développement de l\-^,m,n s'obtiendraient également en suivant la même méthode que dans le cas où il y a symétrie et en remplaçant constamment la raison de symétrie par la raison ({n'exprime la formule (i).
264 I- itAnmcMiîn.
;!'.)."). Probabilité totale. Le joueur k possédant la somme m et le joiiiur \\ 1(1 somme 11, (/u>'//e es/ la prolmhilité pour que le jeu se termine ai-un t ij. punies pur la ruine du joueur A?
La |)ri>l)al)ili(<' clicrclu'o dile probalnlitè du troisième genre P,i,„,,„ est la somiiic des proliabililés ll|ji,,„,„ do zéro à iJi; on a donc
/ "|X,3»H-ln,» "f- -)-■•••
Z/fl prohabilité e/ierchée est donc
I 4m-t-irt )■!/, ; Vm-4-8/i 1*]/,
, p 9i 0 p Vi p
-T" «^ rjj, 3,„^î„ ,„ t. I (j...)/,i+tn.»
396. Les quantités P(i,:,, se calculcnl par la formule connue (n-^ 346)
izi
dont la valeur nuniéricjue s'obtient immédiatement par les tables do la fonction
397. Cas 011 au3uae litnite n'est fixée pour la durée du jeu. — Si aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu, quelle est la probabilité de ruine du joueur A ?
Supposons que le jeu avantage le joueur A, c'est-à-dire que •\l^ soit positif. La quantité cherchée P,.,„.„ s'obtiendra en supposant u. iiiiini
ilaiis le développement en série précédent, et, comme le développement est
Les termes de rang impair forment une progression géométrique de raison
e ^' , dont la somme est
st
Les termes de rang pair forment une progression de même raison dont la somme est
La probabilité de ruine est donc
La probabilité de ruine du joueur B est
4wi'l/,
Si |, est négatif, la probabilité de ruine du joueur A est
•266 I.- ItACIII'.l.ll'.H.
3l)S. (lu [iciil olilciiir ct's roriiiiilcs |t;ii' un proicdr plus simple : Si le joueur H avait une forliinc iutiiiic, l;i probabilité do ruiiiodu
joueurA supposé avantage par les coiidilions du jon (■]/,> o) serait
Pour obli'iiir l:i inobabililé P..„,,„ de ruine du joueur A quand le joueur H possède la somme //, on doit, de celle expi'ession, retrancher les probabilités corres|iiindant aux cas où le joueur B, d'abord ruiné, aurait ensuite ruiné le joueurA si le jeu avait pu se continuer, c'està-ilire retrancher
Kn ell'et, aucune limite n'étant assignée pour la durfc du jeu, la probabilité pour ([ue H soit ruiné avant A est la probabilité totale de ruine de B, c'est-à-dire (i — ?,,,„,„), et, d'autre part, la probabilité de ruine du joueur A (juand il possède la somme m -h n est bien
e ^' On a donc
c'est-à-dire
399. Si le jeu est équitable •]/, = o, et les formules deviennent indéterminées; en leur appliquant la règle connue, on obtient
Ce résultat se démontre directement d'une manière fort simple (n° i;i).
'lOO. Durée moyenne. — Supposons d'aboid que le jeu soit désavantageux pour le joueur A, (■}, < o).
CALCUL DES PROnABILITÉS. 267
Si le joueur B avait une fortune iiirinic, la durée moyenne du jeu serait (n" 350)
La possibilité de la ruine du joueur B diminue cette durée moyenne d'une quantité que nous allons déterminer.
La prohabilité pour que le joueur B soit ruiné est Q«.„,,„, et, au moment nù il ost ruiné, s'il pouvait continuer à jouer, possédant une fortune infinie, la durée moyenne du jeu serait
La possibilité de la ruine du joueur B diminue donc la durée moyenne de la quantité
La durée moyenne a donc pour expression
ou
— 1, est l'espérance du joueur B pour une partie, m(i — Q. ,„,,„) est son espérance positive pour l'ensemble du jeu, — nQ,,„.,„ est son espérance négative pour l'ensemble du jeu, et le numérateur de la fraction est son espérance totale.
La durée moyenne du jeu est donc égale au rapport de l'espérance totale de l'un des joueurs à l'espérance du même joueur pour une partie.
401. Si le jeu est équitable, c'est-à-dire si '}, = o, l'expression de la durée moyenne prend la forme-; en lui appliquant deux fois de suite la règle connue, on trouve pour valeur moyenne
n.rn '
.n.ni
u(),S I.. iiAciii'.iiKn.
la (liinM> iiiovonm' csl |iro|)(irli(iiiii('llt' an produit des fortunes des joueurs cl iiivcrsciiuMil |iroportioiuicll(' à la fonction d'instabilité.
102. Application à la théorie des épreuves répétées. — I.os formules ficncraics des prohahilitrs liu second et du troisième genre son! applicaliles au cas particulier plus simple des épreuves répétées, c'est-!i-(lire des é|)reuvesqui ne sont [)as oxi)licilement les parties successives d'un jeu.
Lorsque nous avons étudié les probabilités du premier genre, nous avons dediiil de notre tliéorie générale des formules approeliées relatives à la théorie des épreuves répétées ou tlié(uic des écarts (n'"" 2G0 et -280).
Nous pourrions de même maintenant résoudre d'autres problèmes relatifs à ces épreuves en les assimilant aux questions de probabilités du second et du troisième genre. Nous traiterons à titre d'exemple le j)robIéme suivant :
Soient /; la probabilité d'un événement II h chaque épreuve, 7 = 1 —p la probabilité de l'événement contraire K. Quelle est la probabilité pour que, en a épreuves au maximum, le nombre des arrivées de l'événenienf K surpasse de /y/ le nombre des arrivées de l'événement H; le nombre des arrivées de l'événement H n'ayant pas précédemment dépassé de n le nombre des arrivées de l'événement K?
Supposons qu'un joueur A ait, ii chaque partie, probabilité /; pour gagner un franc et probal)iIité(7= i — p pour perdre un franc. Le problème proposé revient à chercher la probabilité pour que le joueur A soit ruiné en jouant u. parties au maximum quand il possède /// francs, son adversaire 13 possédant /; francs.
La formule du n" 39.") donne la solution approchée du problème lorsque /«, « et a sont de grands nombres ; il suffit d'y remplacer]/, par /j — (7 et o, par '^p(j.
Les autres questions que nous avons traitées dans ces deux derniers (Chapitres permettraient de résoudre des problèmes analogues.
''1O.3. Soient /j,, p.,, ...^p^ les probabilités d'un événement à la première, la seconde, ..., la li)"""' épreuve, et soient fj^ — x — /'i, ^2— I — p., ..., q^^ I — /V 'fs probabilités de l'événement contraire.
CALCUL DF.S PROIÎARILITÉS. 'iCnj
Si, en a épreuves, le premier événeiiienl s'est produit l^p-h.v fois, on dit que l'écart est a- (n" 2S-2).
La probabilité d'un écart .r en u. épreuves est
djc.
\fT:\/2lpq
Si un joueur perd une somme égale à l'écart, son jeu est équitable et est caractérisé par la fonction d'instabilité 'J-^pg-
11 en résulte que /a théorie des écarts dans les épreuves répétées n'est f/u'un c:is parlicidier de la théorie des jeux équitables.
La probabilité pour que, dans le cours des u. épreuves, l'écart ± m soit dépassé a pour valeur 2?^,,,, „, ; Pn,,„,m étant donné par la formule du n" 380, où 9([j) est remplacé par i^pq.
Le second écart moyen a pour r^aleur
il est égal au premier écart moyen (n" 285) multiplié par - ■ Le second écart probable a pour râleur
0,8062 \Ji1p(];
il est égal au premier écart probable (n° 285) multiplié par 1.7.
On comprend bien la dill'érence entre les deux écarts probables : le premier a des chances égales d'élre ou de ne pas être dépassé à la y^iêiiie épreuve, tandis que le second a égale probabilité d'être ou de ne pas être dépassé dans le cours des [x épreuves.
lU'i. Les écarts principaux. — Lorsque \i. épreuves doivent être tentées, six écarts parmi l'infinité des écarts qui peuvent se produire sont particulièrement intéressants :
L'écart probable (o,47()9 .. . V'il/^^r) est celui qui a égale probabilité d'être ou de ne pas être finalement dépassé.
L'écart moyen (o,,')6'i2 . • • y'--/^''/) <iu valeur moyenne de l'écart linal considéré en valeur absolue.
