THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA SPÉCULATION
14. La théorie de la spéculation a été le point de départ de la théorie
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des probabilités continues; les conceptions nouvelles qu'elle a fait naitre, sa simplicité et sa clarté extrêmes .ont été la cause initiale de nombreux progrès et justifient l'étendue que nous donnerons à son étude. La conception de la théorie de la spéculation a eu pour conséquence la conception des probabilités continues, parce que les problèmes que se posait cette théorie ne pouvaient admettre que des solutions continues, à l'inverse des problèmes résolus dans le passé qui ne pouvaient admettre que des solutions exactes discontinues.
La théorie de la spéculation a donc introduit dans le calcul des probabilités une nouvelle notion, mais là ne se borne pas son intérêt; au point de vue pratique, son utilité ne peut être mise en doute, puisque les résultats que fournit l'examen des cotes sont en parfait accord avec ceux que fournit le calcul.
Cette concordance entre la théorie et l'observation est également intéressante au point de vue philosophique; elle prouve en effet que le marché de la rente obéit à la loi du hasard.
Ce résultat était du reste à prévoir; un tel marché soumis constamment à une infinité d'inlluences variables et qui agissent dans divers sens doit finalement se comporter comme si aucune cause n'était en jeu et comme si le hasard agissait seul.
Les résultats de la théorie ne pourraient être mis en défaut que si une cause agissait constamment dans le même sens ; en fait, la diversité des causes permet leur élimination; l'incohérence même du marché est sa méthode, et c'est parce qu'il n'obéit à aucune loi qu'il suit fatalement la loi du hasard.
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'il"). Dans la théorie (le la spocnlalioii. les probahililés sont conslaiiiineiit varialilos cl d'une niaiiière coiitiiiue; c'est poiiniiKii cette llicdric iliiiina l'idée (rassirnilcr le phénomène de la transiornialidii des prohahililés à certains phénomènes physiques et conduisit à la loi du ravonnemenl de la prohahilité. Cette loi, qui perm(>l de résoudre par sim|)le analogie diverses (jueslions de pliysi(jue iiiathéniali(iue, est i'ort curieuse; elle étahlit un rapprochement entre deux théories (|ui semhleni ne pouvoir présenter la moindre similitude, et elle prouve que certaines loisphysi(iues peuvent être considérées comme l'expression des lois du hasard.
''ilO. Je n'ai pas cru devoir reproduire dans l'étude qui va suivre toutes les questions traitées dans l'Ouvrage sur la théorie de la spéculation que j'ai puhlié il y a quelques années; je me place ici au point de vue théorique, et je n'envisage ni la pralicpie de la spéculalion ni la comparaison des chilFrcs calculés avec ceux (|ui sont obtenus par l'examen des cotes.
Réduite ii sa partie théorique, l'étude de la spéculation présente encore un grand intérêt; elle montre le calcul des probahilités sous un nouveau jour, sous une forme très saisissante et très claire.
'il7. Notions générales sur la probabilité. — Nous supposerons que les variations dos cours de la rente, par exemple, soient dues uniquement au hasard, et nous chercherons les lois de ces variations, c'est-à-dire que nous chercherons la probabilité pour que, à l'époque/, le cours diffère d'une quantité donnée du cours coféii l'instant actuel.
Nous prendrons pour zéro le cours actuel ; le cours x seia donc un cours relatif désignant l'écart au cours actuel.
La probabilité pour que le cours x soit coté à une époque donnée, ou, plus exactement, la probabilité pour que le cours soit i» cette époque compris entre x et x-hdx est une Fonction de x que l'on peut représenter par rordonnée d'une courbe dont les abscisses sont les différents cours.
Nous prendrons pour origine le cours actuel; la courbe de probabilité s'étendra de part et d'autre de — co à -i- a:;, et elle sera nécessaire-
ment asymptote à l'axe des x. Son aire totale, qui représente la somme des probabilités de tous les cours, aura pour valeur l'unité.
Le premier problème de notre étude consistera à déterminer la probabilité pour que le cours x soit coté à l'époque /.
418. Principe de l'indépendance. — Les variations du cours qui peuvent se produire à un instant quelconque sont indépendantes des variations antérieures et du cours coté à cet instant.
Il faut bien comprendre ce que signifie ce principe : il est évident qu'en réalité l'indépendance n'existe pas, mais, par suite de l'excessive complexité des causes qui entrent en jeu, tout se passe comme s'il y avait indépendance.
Si le cours est s à l'époque /, , la probabilité d'un nouvel écart y pendant un nouvel intervalle de temps t., est indépendante de :;; elle ne dépend que de y, t^ et /^ .
Le principe des probabilités composées, le principe des probabilités totales et le principe de l'indépendance permettent de déterminer la loi de probabilité, c'est-à-dire de calculer la probabilité pour que le cours soit X à l'époque /.
Désignons par r^^i^dx la probabilité pour que, à l'époque /, le cours se trouve compris dans l'intervalle >r,j:--f-fte. (Dans mon Ouvrage sur la Théorie de la spéculation, cette probabilité était désignée par Px,, dx. )
Cherchons la probabilité pour que le cours ,r soit coté à l'époque l^-^t.y^t, le cours z ayant été coté à l'époque t^.
En vertu du principe de la probabilité composée, la probabilité cherchée est égale au produit de la probabilité pour que le cours :; soit coté à l'époque t^, c'est-à-dire m,, , - c/- multiplié par la probabilité pour que, le cours z étant coté à l'époque /, , le cours x soit coté à l'époque ?,+?, = /, c'est-à-dire multiplié par as^ , j. ^.dx.
La probabilité cherchée est donc
^0./, .:'«'/, ./,.■-; dz dx.
Le cours pouvant se trouver à l'époque ^, dans tous les intervalles dz compris entre — co et + *, la probabilité pour que le cours x soit
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coté à l't'potiut' / (>st, en vertu du principe des probabilités totales,
La probabilité de ce cours œ à l'époque / a aussi pour expression vs„ r ^(/.v; on a donc
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