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telle est l'équation de condition;! laquelle doit satisfaire la fonction in; elle doit être vérifiée quels que soient /, et /.
Lorsque l — t, tend vers zéro, la probabilité pour que l'écart y correspondant à cet intervalle soit compris entre — a et + ^ doit tendre vers I, quelques petites que soient les quantités positives (et fixes) a et p. On doit donc avoir
lini / u!,^i^.dy=zi pour< — <i =
A 19. Ces conditions sont identiques à celles du paragraphe 226 et ce résultat est évident; le spéculateur qui achète ou qui vend au cours zéro réalise à l'époque / un gain ou une perte égau'x au cours x; la probabilité du cours x- est donc la probabilité du gain ou de la perte x.
Une analyse identique à celle du paragraphe 226 conduirait à l'expression la plus générale de la probabilité ci,
v/Si/r 9'(o^'
'!'(/) et o'{t) sont des fonctions arbitraires, dont la seconde doit constamment être positive.
CALCUL DES PROliAIilLITKS. 28 1
Nous écrirons simplement
^ l'}.l/| + .rl-
Ts ^ — = — =1^- ax.
et nous considérerons les fonctions o et '| comme arbitraires en tenant compte, quand besoin sera, de leur propriété additive.
Par exemple, la fonction o relative à un intervalle de temps t est la somme des fonctions analogues relatives à tous les éléments de temps qui composent cet intervalle /.
La fonction o croît donc constamment avec t.
420. Principe de l'espérance mathématique. Nous ne pouvons admettre qu'une opération de spéculation favorise a priori celui qui la contracte; ces sortes d'opérations sont soumises à la loi dite c/c Co^re et de la demande, et une opération qui favoriserait systématiquement l'un des contractants ne trouverait pas de contre-partie.
Une opération ne peut être a priori ni avantageuse, ni désavantageuse; c'est ce qu'on exprime en disant :
L'espérance mathématique de toute opération est nulle.
421. Pour appliquer ce principe, supposons qu'on achète de la rente au cours actuel zéro pour la revendre à l'époque / ; le bénélice sera exprimé par le cours x à cette époque, et, par suite, l'espérance totale de l'opération est
-dx = '\f(t).
Cette espérance doit être nulle, donc '^{t) = o; donc La probabilité du cours x à l'époque t a pour expression
-.dx.
Le principe de l'espérance mathématique a, comme on voit, pour conséquence la symétrie de la probabilité.
2<S2 1,. iiA(;iii:i.ii:u.
l,"cx|iri'ssioii (Je la |)r(ilial>ilil(' no coiitioiil (|m'iiiii' rmiclinn aiMtraitc (p(/ ) qiif lions nninmiTons fonction (l'inslithililé. Nous venons |)lns liiin par (|nt'll('s donm-osiMi peut la dt-lerniincr ; [jomp Io iiioincnl, ikuis snpposcrnns (|n't'llc csl connno.
Loi's<iu'il s'agissait (le la (lu'orie génci'aic des prohaliililés continues (n" 27i), nous pouvions supposer que cp(/) pouvait Icndic vers une limite linio pour / inHni. I.a nature de la (jueslion que nous traitons ici ne permet pas de taire celle supposition; dans la théorie de la spéculation, y(/) est inlini (]uand / est infini.
\-ïl. Courbe de probabilité. — La fonction
peut se représenter par une courbe dont l'ordonnée est maxima à l'origine et qui présente deux points d'inflexion pour
Ces mêmes valeurs de a: sont aussi les abscisses des maxima et niinima des courbes d'espérance mathématique dont l'équation est
V= ±ÏÔX.
La probabilité ro d'un cours x'est une l'onction de / qui croit jus(iu'ii une certaine époque et décroit ensuite; cette fonction est maxima quand le cours x correspond au |)oinf d'inflexion de la courbe de probabilité.
423. Espérance mathématiqu 3. - Il s'agit de l'espérance mathémali(iue positive d'un spéculateur qui achèterait de la renie au cours actuel pour la revendre à l'époque l.
Cette espérance a pour valeur
: djC
elle est proportionnelle à la racine carrée de la fonction d'instabilité.
Nous désignerons la quantité ^ ' par la lettre r/, et, dans bien des
questions, nous exprimerons les variations de cours en prenant a pour unité.
Dans ces conditions, la probabilité du cours x est exprimée par la formule
-dx.
424. Probabilité dans un intervalle donné. — Les Tables de la fonction
\ItiJo
qui sont reproduites à la fin du volume permettent de calculer la probabilité dans un intervalle donné.
La probabilité pour que le cours soit compris entre zéro et a- a pour expression
: dx.
OU. en posant
dl = - 0
\ ?(nj
425. La probabilité pour que le cours soit compris dans l'intervalle
— j;, H-.r a pour valeur
^r"e^'-di^&\-^\
Lorsque / tend vers l'infini, cette probabilité tend vers zéro. La probabilité dans l'intervalle — ^i , -\- x., est
Cette expression tend vers zéro lorsque t augmenle indéfiniment.
28 'l I.. IIACIIKLIKII.
'i "il » . La prohabilitè
^ ^\/^^'o ^ ^- Lv'?(oJ
/>««/• </Mf le cours soit supérieur à .v à l'époque t, croît conslaniiuent iivoc II' l('ni|is. Si / ('tail iiil]iii ollo serait ('gale à - > résultat évid(Mit.
427. Au lieu d'avoir recours aux Tables de la fonction 0, il est généralement beaucoup plus simple de faire usage de la Table suivante, qui ddiiiii' directement la probabilité 'S correspondant au cours x exprimé
en prenant a — ^ '^\ pour unité.
Kcail. rrobabilité $. Écart. Proljabilité 'i'.
(i,o</ o,5oo 2,3a ".'79
o,trt o,4i<4 '>-,if ".'''()
o,->.a o, lf>9 •;t,)a ", ' '9
o,'ia 0,453 •^,6a o,i5o
o,7<7.... 0,390 3,0a o,iiG
0,8a .... 0,374 3,ia 0,108
1,0a 0,345 3,3rt 0,094
1,1 rt 0,33 1 3,4 a 0,087
i ,'if/ o,3()2 3,6n 0,075
1,5a o,>75 3,8a o.oCi)
1,6a 0,26* 3,9« o,oGo
t,8a 0,237 -îiSo <>.o37
r,9« 0,22'i 5a i),oi3
2, on o,2i3 i),5rt o,or)
2, in 0,202 6rt 0,009
2,2n 0,1 yo 7 a o,oo3
428. — Les diverses probabilités s'expriment facilement par la fonction <r; par exemple, la probabilité [)our que le cours soit compris dans l'ind'i vallc — x, ,-\-x.,n pour valeur i — '-i\ — T^, •
Il ne faut pas oublier que les cours sont exprimés en prenant
a *? 'pour unité.
429. Écart moyen.— L'e'carfmoje» est, par définition, l'espérance mathématique d'un joueur qui devrait recevoir une somme égale à la valeur absolue de l'écart à l'époque t. C'est donc la quantité
L'écart moyen est proportionnel à la racine carrée de la fonction d'instabilité.
Si l'on désigne par a la quantité ' . l'écart moyen a pour
valeur 2(2.
La probabilité pour que l'écart moyen soit dépassé dans un seul sens est donc 0,214 d'après la Table du paragraphe 427 ; la probabilité pour que l'écart moyen soit dépassé dans un sens ou dans l'autre est 0,428.
430. Écart probable. Nous appelons ainsi l'écart ±a tel que, à l'époque /, le cours ait une chance sur deux d'être compris dans cet intervalle.
La quantité a se détermine par l'équation
(3n en déduit, d'après la Table du paragraphe 427,
SJT.
L'écart probable est proportionnel à la racine carrée de la fonction d'instabilité.
11 est égal à l'écart moyen multiplié par le nombre o, 844 —
431. Écarts isoprobables. — Plus généralement, considérons l'écart ±^ tel que la probabilité, pour que, à l'époque /, le cours soit
aHfi 1.. [lAciiEi.ir.ii.
(•(impris dans col iiilcrvallc, soit égale ii ii; ikhis aurons
ou
Cet inti'tvalh^ ^. si ?/ est constant, varie proportionnellemeni
Les ècarls croissent proportionnellement à la racine carrée de la fonction d'instabilité.
C'est à cette propriiHc'" ([uc la t'onclion (riiistabilitc doil si»ii nom. o(/) croit constamment avec / cl jusiin'ii l'inlini; les t'carts isoprobables croissent donc constamment et jusqu'à riiilini.
432. Principe àe l'uniformité. — .hisciu'ici nous n'avons fait aucune liypotlu'se sur la forme de la l'onction ^(/); nous pouvons même remarquer que certains résultats sont indépendants de cette fonction; c'est ainsi que le rapport de l'écart probable à l'écart nioyeii est o, 844' qii*^' que soit ;p(/). La probabilité pour que l'un de ces écarts soit dépassé est de même indépendante de o(/).
Il est évident que dans la [)lupart des cas le niarcbé n'a aucunr raison pour supposer que la probabilité d'un écart }' dans l'intervalle zéro, /, est différente de la probabilité de ce même écart dans l'intervalle /,, 2/, on 2f,, 3/|, — Le marcbé suppose donc généralement (ju'ilya unil'ormité, c'est-à-dire que l'instabilité est la même pour tous les éléments de temps; en d'autres termes, il suppose que dans la formule
<p(0 = / i{t)di.
!p'(/) a une valeur constante [\r.k-, de sorte qu'on a
CALCUL DF.S PROHAlilLlTltS. 287
Nous avons désigné la constante par 4~^"'» afin que l'espérance mathématique (n" 423)
qui est proportionnelle à la racine carrée du temps, se réduise à un coefficient k lorsque ^ = i .
k est le coefficient cl' instahililè .
Si l'on suppose l'uniformité, la probabilité du cours x à l'époque l est
ro =: — — — =- dx.
433. L'expression d'uniformité qui a été employée dans la théorie des jeux pourrait faire naître une idée fausse. Lorsqu'on dit qu'un jeu est uniforme, on suppose généralement qu'il le sera dans la réalité; lorsqu'il s'agit de la spéculation, l'uniformité au contraire ne peut être réelle; le marché à l'époque actuelle ^ = o considère les probabilités relatives aux époques futures comme uniformes et caractérisées par le coefficient d'instabilité k; à l'époque A^ il admet une uniformité caractérisée par un autre coefficient k', à l'époque lAl il admet une uniformité caractérisée par un autre coefficient ^•", etc.
Comme on calcule les valeurs des probabilités à l'époque / = o, les formules sont les mêmes, (jue l'uniformité soit supposée ou réelle.
Le marché s'écarte fort peu de la loi de l'uniformité même dans la spéculation sur les marchandises, où cependant, à certaines époques, les cours doivent a priori être instables.
Si, ordinairement, nous ne supposons pas l'uniformité, c'est pour conserver à notre étude son maximum de généralité, et cela est surtout intéressant au point de vue théorique.
434. Pour obtenir les formules relatives au cas où l'on admet l'uniformité, il suffit de remplacerdanslathéoriequi précède lafonction :p(/) par son expression particulière ^-nk-t.
Certains résultats sont alors intéressants pour leur simplicité.
•288 I.. iiAc.iiii ir.K.
L'rrart rinivcii ik\ l es! /iroporUDiinc/ à la ruci/ie carrée du temps, de mi'me que l'écart probable i , G88 ... X- y /.
La t'onsi(l('Tiilii>n des t'carfs isnprobabics conduit à cctlc proposition j;(MU'ral(' :
Les écarts croissent proportion iielle/nent à la racine carrée du temps.
