PROBABILITÉS CONTINUES A DEUX VARIABLES

509. L'étude des probabilités à une variable a déjà démontré que la théorie du jeu est l'expression la plus générale du calcul des probabilités; l'étude des probabilitésàplusieursvariables conduira à la même conclusion. Les problèmes généraux que nous résoudrons d'abord seront donc relatifs à la théorie générale du jeu.

Si l'on considère 71 joueurs A,, A., ..., A„ et si l'on désigne par.r,, j?2, . . ., a7„ les pertes de ces joueurs, on a constamment

Dans la théorie des probabilités à deux variables, on s'occupe exclusivement du sort de deux joueurs A et B et l'on peut supposer qu'il existe seulement un troisième joueur C, car tous les autres joueurs peuvent être sensés associés et cette supposition ne change en rien le sort de A et de B.

Si A perd la somme x, B la somme y et C la somme z, on a évidemment

Nous résoudrons d'abord le problème suivant :

Trois joueurs A, B, C, qui possèdent chacun une fortune infinie, doivent jouer u, parties, quelle est la prohabililé pour que le joueur A perde la somme x et le joueur B la somme y ?

Nous supposerons que le jeu est uniiorme, c'est-à-dire que les conditions qui le définissent sont les mêmes à chaque partie.

Le jeu sera caractérisé pour le joueur A par l'espérance totale 'l^^

\\i^ I. i!At:iir.i,ir.n.

rolativc à une paitio ('( |>:ir la loiu'lioii d'instabilito 9, rclalivo à une |>arlii'.

Pour If joiuMir \i, le jeu sera caraclôrisi' par les lonctions ■]/., et cp-j ol pour lo joueur (] par les fondions 'j^^ et ç-;,.

Nous désignerons par/(a, x,y) dxdy la probabilité pour que, à la a''""' partie, le joueur A ait perdu la somme x et le joueur H la somme j ou, si l'on veut, la probabilité pour (|ue la perte du joueur A soit comprise entre r et .r -f- dx et la perte du joueur H entre v et y -r- dy.

La probabilité pour que, à la (j.'""'" partie, le joueur A ait perdu la somme x et le joueur B la somme y, les pertes de ces joueurs ayant été x^,y^ à la (J(.',''"'" partie est, en vertu du principe des probabilités composées.

Les pertes .t,, v, ayant pu, à laix',''"'" partie, avoir toutes les valeurs de

— oc à -)- ce, la probabilité pour que à la (jl'""'" partie lejoueur Aperde la somme x et lejoueur B la somme j est, en vertu du principe des probabilités totales,

ty 00 «^ - oc

Cette même probabilité s'exprime par/([ji, x, y)\ on doit donc avoir

Telle est l'équation de condition à laquelle doit satisfaire la fonction/, elle doit être vérifiée quels que soient \^.^ et a.

Il faut joindre à cette équation la condition relative à l'état initial : La probabilité pour que x soit compris entre — a, et ce., et y entre

— ^, et j^o doit tendre vers un lorsque p. tend vers zéro, quelque petites

que soient les quantités positives (et fixes) a,, ol.,, p,, p^; on doit

donc avoir

.». ..?, liniile / 1 f{\3.,x,y)dxdy^\ poLir ^=0.

Cesdeux équations de condition suffisentpour déterminer la fonction /,

CALCUL Di:S PROBABILITÉS. 34 1

par suite de la continuité de la variable u.

L'analyse qui permet d'obtenir la fonction / sera développée au Chapitre suivant; nous nous contenterons ici d'en vérilior le résultat.