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503. Applications à la Physique mathématique. — Les résultats que nous avons obtenus par les principes du calcul des probabilités sont susceptibles d'applications à certaines théories de la Physi([ue mathématique et notamment à la théorie analytique de la chaleur.
Considérons par exemple la formule qui exprime la probabilité cr de la perte x Qn \x parties dans un jeu uniforme défini par la fonction d'instabilité cp, et par l'espérance 1, :
VTTV'ft?!
Cette probabilité xs vérifie l'équation aux dérivées partielles
ax- cp, ox cp, «fx
et la condition relative à l'état initial
■<d.r^\ pour fi = o.
quelque petites que soient les quantités positives dc et ^.
Considérons maintenant le problème de la distribution des températures dans un courant liquide infiniment mince ou supposé tel que les filets soient parallèles et animés de la même vitesse. La distribution des températures est régie par l'équation aux dérivées parliidles
^ ' dx-" k dx k dt ~°'
3'S'i 1 . i!\(".iii:i.ii'.n.
0 osl la IfiiipéraluiT, x est l^i dislanco du point considéré à une origine fixo i-(ini|)léi' en suivant le sens du courant, ii est la vitesse du courant
(|ne nous supposons constante, ^ est le cocfticieiiL dcconduclihililcdu
liijuide, t désigne le temps.
Lorsque u = o, l'équation se réduit ii
dx- k dt ~°'
C'est l'équation de Fourier relative à un espace à une dimension.
L'équation (3) est analogue îi l'équalion (2) et s'en déduit en reni- |)lacant 5, par X-. ,[/, par — u et u. par /.
Il en résulte que les suhilions de l'équation (2) l'ont connailrc les solutions de l'équation (3).
Étudions d'abord le cas le plus simple, celui d'nn courant indéfini. Nous supposons (|u'au poini pris pour origine se produit une source instantanée de chaleur. Cela signifie que, la température du courant étant initialement zéro, le point origine se trouve en un temps très court dnporlé à la température C. A partir de cet instant, aucun(^ (|ii;nitité de chaleur n'est |)lus introduite dans le courant, de sorte que l'excès de chaleur du point origine se dill'use par suite de la conductibilité.
Il s'agit de déterminer la distribution des températures à l'époque i.
La température 0 doit vérifier l'équation indéfinie (3) et la condition relative à l'état initial
I Bdx = \ pour l = o,
quelque petites que soient les quantités positives a et [i.
L'équation indéfinie et la condition relative à l'état initial sont analogues à celles qui régissent la probabilité du premier genre w; on en déduit
ce
\/7r\/yt7
Telle est l'expression de la température du pointa; à l'époque t; elle vérifie bien les conditions qui lui sont imposées.
Les conséquences qu'on déduit de cette formule sont identiques à celles qu'un déduit de la formule du calcul des probabilités.
Par exemple, le principe de la conservation de la quantité totale de chaleur
B dx — C
est évident dans le cas actuel comme dans le cas des probabilités.
La distribution des températures est donnée par une courbe du hasard qui, en même temps qu'elle se déforme suivant les lois connues, est entraîné par le courant.
Si la source instantanée de chaleur au lieu d'être à l'origine est en y et si sa température est F(j), la distribution des températures à l'époque t est donnée par la formule
VTTV//
Pour résoudre d'une façon générale le problème des températures dans un courant indéfini, il faut supposer qu'à l'époque / = o il existe des sources de chaleur en nombre iini ou infini ayant des températures données. Si l'on désigne par F(v) la température initiale du point y, la température du point r à l'époque t est donnée par la formule
qui exprime la solution générale cherchée.
504. Nous allons étudier le cas, beaucoup plus difficile, où le courant est limité dans les deux sens.
Nous supposerons que en a; = — « se trouve un réservoir indéfini maintenu à la température zéro; en a; = /n se trouve un second réservoir indéfini dont la température est constamment zéro. La température du courant est initialement nulle. A l'origine, c'est-à-dire ena; = o, agit pendant le temps dt une source instantanée de chaleur élevant la température de ce point à la valeur C. La chaleur se dillusanl ensuite
33() I.. n\r.iiF.i,iKR.
|i;ir l'rllVt de la oonductil)ililo, il faut déterminer la température du
point .r à l'époque /.
La température 0 doit vérifier l'équation indéfinie (3), la condition relative à l'état initial et les conditions aux limites.
On doit avoir, comme précédemment,
Odx = C pour / — o.
quelque petites ({ue soient les quantités positives a et p. On doit aussi avoir
0 = 0 pour ,r — m, l étant quelconque, 6 = o pour X = — n,t étant quelconque.
Lorsque le courant est indéfini, le problème de la distribution des températures est analoi^ue à celui qui consiste à déterminer la probabilité de la perte d'un joueur qui possède une fortune infinie; le problème dont nous nous occupons est donc analogue à celui de la perte d'un joueur, quand cette perte est limitée dans les deux sens.
Pour préciser davantage, le problème analogue à celui qui nous est proposé consiste à chercher la probabilité pour qu'un joueur perde en totalité la somme x à la [x'"""" partie lorsqu'il possède la fortune m, son adversaire possédant la fortune n.
Ce problème a été résolu au paragraphe 4 13, et nous en déduisons la solution du problème proposé : A l'époque t, la température G du point rr est
,' ' .1- — ut\* i// \im — .r - iif t^
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CALCUL DES PROBABILITÉS. SSy
505. Il est intéressant de calculer le débit élémentaire de chaleur du point m, c'est-à-dire la quantité de chaleur qui sort du courant par le point m dans l'intervalle de temps t, t + dt.
Il suffît do raisonner par analogie et de remarquer ([ue si l'on assimile la probabilité à une sorte de fluide, les probabilités du second et du troisième genre sont des débits de probabilité. Le débit élémentaire qu'il s'agit de déterminer est donc analogue à la probabilité élémentaire du troisième genre. Cette analogie nous conduit à l'expression
^ , \tn — iit\- ir/7ï (;h -)-2« — «/ )-
Ç,dt
AmC — ( «i -H 2 /i ) e
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^{im-<rin)e * ' e
' -iin -f-2« — ///
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qui est nécessairement exacte. On peut d'ailleurs l'obtenir en remar-
quant qu'elle doit avoir pour valeur — j-r— pour x = m.
506. Le débit total en m s'obtient en intégrant l'expression précédente entre zéro et t, ce débit a donc pour valeur
Vr.l ■ ]
/(:) représentant la fonction
f e- 'dA-hC '- f e->^A,
^Z — lll '^z-i-ut
/lit yITt
qui se calcule facilement par les tables de la fonction 0.
507. Supposons que t croisse indéfiniment et que u soit négatif, la quantité totale de chaleur qui sort par le point m est
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3'iS !.. MACIIKLIKU.
(M ci'lli' (|iii sdi'l par le point — n osl
i I wi + n Ui
Si, au litMid'uiiP source (", à l'orii^Mm', il y a uncsourcod'inleiisilo F(v) au point v, on iloit, dans les formules, roniphu^er ,r par x — y et ('. par F(vV Enfin, s'il y a plusieurs sources en dilTérents points j, on obtient la solution des divers problèmes (ui sommant les formules pour tontes les valeurs de V.
.")0<S. lui résiiinc, r('(|uali()n du mouvement de la probabilité est analogue. dan> le cas le plus simple, à l'équation du mouvement de la chaleur, dette analogie ne subsiste plus dans les questions relatives soit aux probabilités connexes, soit aux probabilités indépendantes à plusieurs variables; dans ces cas, la diil'usion de la probabilité suit une loi plus complexe que celle du rayonnement particulaire.
