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La probabilité pour que, à la u.""^" partie, le Joueur A ait perdu la somme x et le joueur B, la somme y est
'Xp-^j^^y)
4!9,(.r-i-[j.-i, i'-i-(9,-i-9, — 9, i(a-+u4, i{r + ]i-'\/,) + o, i y -i- \i.-li, r- ] !J'12 9i9a-i-2?i?.,-i-2 9, s, -3^-9; -95]
TTfji v/'-Oi92+ 29,93-1- 29,93 — o; — 9; — 9.
c/o; dy.
511. On peut écrire cette expression sous une forme un peu plus simple en se basant sur l'identité
O, -¥- ©o — Ps
La probabilité est ainsi exprimée par la formule
. - -i-l9,ij--i-ii'i/,i'-n9,-H9,-9,iia--i-ii'V,)ir-t-lJ.'|/,> + ?ilJ'-i-li'!'ii'l e ^-^
r.ij. V A
dx dy,
342 L. nACIlELIER.
A ilésignaiil lo (Iclfriniiiaiil
O, M- Oj — Oj
.">12. Indépendance des fonctions d'instabilité. — La somme
't'i -+- yj ^ Va ^'''^ ''""'^ t'S|)('ianr('s est luille. En cU'et, :■ i'(ant la perte ilu joueur C, on a
d'où, en désignant par VM la valeur moyenne,
\Mx + YMy -hVMz - o,
— pli — P't'j — F^3 = o.
c'est-à-dire
La somme ^j^i -^'^2-+- 'la est donc nulle. Le jeu peut être équitable pour un (les joueurs, avantageux pour un second et désavantageux pour le troisième; s'il est équitable pour deux joueurs, il l'est nécessairement pour le troisième.
51.3. Les fonctions d'instabilité o,, (p., ^3 dépendent des conditions du jeu, mais la seule connaissance de deux d'entre elles n'entraîne pas la connaissance de la troisième.
Supposons, par exemple, que le jeu soit équitable et que les fonctions d'instabilité 9, et Oo relatives aux joueurs A et B aient la même valeur o,. Dans ces conditions, o^ peut avoir toute valeur entre zéro et49,.
La valeur limite 9, = o correspond au cas où les joueurs A et B jouent seuls entre eux, C ne jouant pas.
93 peut avoir même valeur que 9,, par exemple par la supposition que chacun des joueurs ait une chance sur trois de gagner la somme
- — —> une chance sur trois de perdre la même somme et une chance
sur trois de faire partie nulle. Dans ces conditions, en effet, la fonction d'inslabililé relative à chaque joueur est 9,.
La valeur limite Oj = 4?! serait obtenue en supposant que les joueurs
A et B ne jouent pas entre eux, le joueur C faisant la contre-partie de ces deux joueurs. En effet, soit Ç (u) du la probabilité pour que le joueur A perde la somme u; si A perd la somme ii, B perd également la somme « et C gagne lu. Les fonctions d'instabilité relatives aux joueurs A et C sont donc, par définition,
Ot=:2 I ii-ti(ii)du et ©3= 2 / (2 a)- ?(«)(/«=: 4 ?i-
Zf3 peut donc prendre toute valeur entre zéro et 4 9.-
Un cas particulier intéressant est celui qui correspond à :p3 = 2c.,. On pourrait, par exemple, le réaliser en supposant que chacun des joueurs ait une chance sur trois de gagner : lorsque C gagnerait, il recevrait
1 franc de B et i franc de A. Lorsque A gagnerait, il recevrait i franc
de c et ^^ de B. Lorsque B gagnerait, il recevrait i franc de G et
^ de A. Dans le cas considéré, on aurait
01 = 92=2 et 93=4 = 291.
La formule précédente (n°510) qui fait connaître la probabilité ^(u., .r, y) pour que le joueur A perde la somme x et le joueur B la somme/ se réduit, lorsque 0, = Ço et s, = 20,, à la suivante :
dx dy.
c'est-à-dire au produit des probabilités qu'auraient séparément les joueurs A et B pour perdre les sommes j; etj'. Donc, dans ce cas, la connaissance de la perte de l'un des joueurs A ou B n'influe pas sur les probabilités relatives à l'autre joueur.
En résumé, dans le cas général, la connaissance de deux fonctions d'instabilité ne détermine pas la troisième.
514. Cas particuliers. - Lorsque le jeu est équitable, },, ^o, j/, sont nuls et la probabilité/" (ul, x,y) est
4 i 3, .X- -(-( 9, -t- ç, — 9, ) xr + ?o'' ;
g ltl2?,?,H-2?,?. + 2?,?,-?J-?:.-?J]
/(/i, X. /)= dr-dy.
71^.^29192 + 29,03 + 29293 — 95 — 9i — 'il
344 ''• «Af^HiaiER.
Lorsque le jeu est symétrique, ç, = cp, = ç,, et l'on a
oe '^^'
/( [1, a:, V ) = jj rfx c/y.
