PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSÉES
11. Le calcul des probabilités repose sur deux théorèmes : le théorème des probabilités totales; le théorème des probabilités composées.
Au sujet de deux événements A etB, on peut se poser divers problèmes de probabilité, suivant que l'un de ces événements doit se produire, ou tous les deux, ou aucun.
Ou bien A et B se produiront tous deux, hypothèse que j'appellerai AB;
Ou bien A se produira, B ne se produira pas, hypothèse que j'appellerai AB';
Ou bien A ne se produira pas, B se produira, hypothèse que j'appellerai A'B;
Ou bien ni A, ni B ne se produira, hypothèse que j'appellerai A'B'.
Supposons que AB se réalise dans a cas différents » AB" .. (3
Le nombre total des cas possibles est a -h (3 -i- y -h <5, que l'on suppose par convention également probables. Examinons diverses probabilités.
La probabilité pour que A. se produise est
(A) Pi = s~ ^>
les cas favorables étant AB et AB'.
La probabilité pour que B se produise est
La probabilité pour que l'un des deux au moins se produise est
(A ou B) pi = ^ ^,
les trois premières hypothèses AB, AB' et A'B étant favorables.
La probabilité pour que les deux se produisent est
(AetB) /^t = : ô 5 »
une seule hypothèse AB étant favorable.
Nous avons encore à envisager la probabilité pour que A se produise, si B s'est produit,
(AsiB) ;,5 = — f^;
nous savons d'avance que B s'est produit, par suite le nombre des cas possibles se réduit, ainsi que celui des cas favorables.
La probabilité pour que A se produise, si B ne s'est pas produit, est
(AsiB') />,= gi-^,
les cas possibles étant au nombre de (3 -h 5.
PROBABlLITÉb TOTALKS lOT COMPOSÉES. '^7
La probabilité pour que H se produise, si A s'est produit, est
(BsiA) ^,^f^.
La probabilité pour que B se produise, si l'on sait que A ne s'est pas produit, est
(BsiA') p,==.y.
12. Les théorèmes annoncés se réduisent à de simples identités.
Examinons ^1, /?,,/)„ /?t. On a
^*~ a 4- (3 -4- y. -h ô ~ ^rT7 a-<-(3H-y-hô -^»^»î
de même
Pi = P\PT
Ainsi la somme des probabilités pour que A se produise et pour que B se produise est égale à la somme des probabilités pour que l'un des deux au moins se produise et pour que tous les deux se produisent
(A)4-(B)=:(A ou B)-^(A elB).
La probabilité pour que A et B se produisent tous deux est égale à la probabilité pour que B se produise, multipliée par la probabilité pour que A se produise, quand on sait que B s'est produit.
Ou, inversement, elle est égale à la probabilité pour que A se produise, multipliée par la probabilité pour que B se produise, quand on suppose que A doit se produire.
(A et B)=(B)(A siB) = (A)(B si A).
13. Supposons, en particulier, «=0, d'où p^ = oi alors Pi-^pi — Pt'
Lorsque les deux événements ne peuvent arriver tous deux à la fois, la probabilité de A et celle de B ont pour somme la probabilité pour que l'un quelconque se pro^ duise.
Ainsi, quand un événement peut se produire de deux manières différentes, mais que ces deux manières ne peuvent arriver &imultanément, la probabilité de l'arrivée de cet événement est égale à la somme de la probabilité pour qu'il se produise de la première manière et de la probabilité pour qu'il se oroduisc de la deuxième manière.
C'est le théorème des probabilités totales.
