PROBABILITÉS TOTALES ET COMPOSKFS
Autre exemple d'événements indépendants : je jette deux dés; quelle est la probabilité que chacun amène 6 ?
La probabilité que l'un amené 6 est-;
— 1 autre — tt.
La probabilité que tous deux amènent 6 est r^» car les deux événements sont indépendants.
16. Celte condition n'est pas toujours aussi évidente, et on pourrait faire de ce théorème un usage illégitime qui s'est rencontré plusieurs t'ois.
Au tir au pistolet, je cherche la loi probable des écarts : je ne me suis rien donné, ni sur le tireur, ni sur le pistolet. C'est une question dans le goût de « l'âge du capitaine ».
Prenons cependant deux axes de coordonnées, ayant pour origine le centre de la cible : soient x et r les coordonnées rectangulaires d'un point M, p et w ses coordonnées polaires.
Le problème reste indéterminé, si nous admettons que la prohabilité des écarts est la même dans toutes les directions.
La probabilité que M se trouve dans un petit élément de surface dd peut se figurer par
f{x,y)do.
Il lautdéterminer/(j;,/); cette fonction ne doit dépendre que de p pour que la probabilité reste la même dans toutes les directions : cette probabilité s'écrira donc
A?) de.
42 CBAPITHE II.
Cherchons la probabilité pour que l'abscisse du point de chute soit comprise entre x et x -h da:; plie se représentera
par
(p(x) dx.
De même, la probabilité pour que l'ordonnée du point de chute soit comprise entre y et^-i-f/j se représentera par
Mais on doit supposer que 9 et 4* sont égaux pour que la probabilité reste la même dans toutes les directions; dans le second cas, on nura donc
Le raisonnement va devenir incorrect : cherchons la probabilité pour que M se trouve dans un petit rectangle de dimensions dx et dy. Deux événements doivent se produire à la fois ; r° l'abscisse est comprise entre x et x-k-dx\ 1° L'ordonnée est comprise entre y et y ■+- dy.
En vertu du théorème des probabilités composées, la probabilité actuelle sera
o{x) (^{y)dx dy.
D'autre part, cette probabilité s'exprime |>ar/(p) da; on
a donc
Prenons les dérivés logarithmiques des deux membres par rapport à x, en tenant compte de ç)^-=.x^ -•"/*»
^i^) /{?) p* Ainsi
PROBABIUITKS TOTAI-HS ET COMPOSÉKS. 43
et, par analogie,
/?(/) p/ip)'
Le premier membre de chacune de ces équations dépend soit de X, soit de y; comme ils sont égaux, ils sont constants.
hx* loge<p(^) — -^-hlog^C,
<p(ir) = Ce *
Ce raisonnemeni est incorrect : on a appliqué le théorème des probabilités composées, c'esl-à-dire qu'on a supposé les événements indépendants; autrement dit, que les écarts suivant l'axe des x sont indépendants des écarts suivant l'axe des j'.
Décrivons quatre aires égales à rfa autour des quatre sommets A, B, C, D d'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. Appelons «, (3, y, 5 les probabilités respectives pour que M tombe dans chacun de ces éléments.
J'ai supposé que l'écart en ordonnée était le même pour B et D, situés sur la mêhie parallèle à l'axe des x\ que l'écart en abscisse était le même pour A et B, situés sur la même parallèle à l'ajte des y; en d'autres termes, qae
p^k^ ce qui est une hypothèse absol^imetit gratuite.
17. Maxwell a commis la même erreur dans la théorie des gaz. Considérons un gaz comme formé d'un très grand nombre de molécules animées de vitesses différentes; com-
ment les vitesses seront-elles distribuées entre les molécules ?
Choisissons trois axes de coordonnées rectangulaires et, par Torigine, menons un vecteur représentant en grandeur, direction et sens la vitesse de ces molécules. Evaluons la probabilité pour que l'extrémité M du vecteur se trouve dans un petit élément de volume dr.
Si je suppose, ce qui est naturel, les vitesses également susceptibles de toutes les directions, celte probabilité se
représentera par
f{r)dT.
La probabilité pour que la première coordonnée soit entre a; et X -^ dx s'écrira (i^{x)dx', la probabilité pour que la seconde coordonnée soit entre y et r -k- dv s'écrira (if{y)dy\ la probabilité pour que la troisième coordonnée soit entre z el z -\- dz s'écrira (^{z)dz.
La probabilité pour que M soit dans un petit parallélépipède de deux côtés parallèles aux axes éVàWi f{r)dx dy dz, si le théorème des probabilités con)posées était applicable, on aurait comme tout à l'heure
/(r) = (p(a;)<p(.v)<p(i), ce qui est incorrect.
18. Problème du scrutin. — Ce problème admet une solution élégante due à M. D. André.
Deux candidats \ et B sont en présence; un électeur bien informé sait à l'avance que A aura m voix et B n voix, m éi-ant plus grand quo n. On demande la probabilité pour que A garde h« majorité pendant tout le dépouillement du scrutin.
PHOBABILITKS TOTALES ET COMPOSÉK8. 45
Pour évaluer le nombre des cas possibles, constatons que les m buiielins A et les n bulletins B peuvent se présenter dans autant d'ordres difîéretits qu'il y a de permutations avec répétition de m lettres A et n lettres B, soit
m\ ni
Je partage ces cas possibles en trois groupes.
Dans le premier, je range tous les cas où A a la majorité au début et la conserve tout le temps, soit Ni cas tous favorables.
Dans le deuxième, je range tous les cas où le premier bulletin est un bulletin B ; A perd donc la majorité au début ; ce sont N2 cas défavorables.
Dans le troisième, je range tous les cas où A a la majorité au début, mais la perd ensuite avant de la retrouver à la fîu; ce sont N3 cas défavorables.
On a
N -4-N -t-N (fL±iil:,
et il s'agit de calculer
Nv
N,-t- Nj-i-Ns
Évaluons Nj : le premier bulletin dépouillé porte B; supprimons-le, il reste m bulletins A et (n — i) bulletins B. Le
nombre des cas possibles est ^ — r—, ~, et donne la
^ ml (n — i)l
valeur de N.
Je vais démontrer que Nj =■ Nj.
Lesme. — Supposons qu'il y ait égalité de voix dans le scrutin : A. a q bulletins, B a ^ bulletins. Admettons également que A a la majorité au début, et qu'il la conserve jus-
qu'au dernier bulletin^ où il la perd, puisqu'il y aJinalemenC égalité; le dernier bulletin est donc au nom de B. Dépouil- Ions dans C ordre inverse : B perdra la majorité au dernier bulletin seulement.
A un moment déterminé du scrutin, on a dépouillé a bulletins A, et b bulletins B, et l'on a trouvé a> b, puisque A a la majorité. Il reste à dépouiller q — a bulletins A, et^ — 6 bulletins B.
Dans l'ordre inverse, le scrutin aurait donc montré
c'est-à-dire que B aurait eu la majorité. Ce lemme établi, revenons au problème qui nous occupe. Considérons une combinaison a. du troisième groupe
(a) AABAB|BABAA.
A a la majorité jusqu'au trait, puis, au bulletin suivant, il la perd pour la première fois. A gauche du traii, s'il y a q bulletins A, il y a ^ — i bulletins B, soit en tout a^ — i bulletins.
Considérons une autre combinaison, que nous appellerons dérivée de a,
BABAA|AABAB.
On l'obtient en prenant successivement dans a. les bulletins de rang
c'est-à-dire en transportant à gauche du trait ce qui était à droite, et inversement.
Le (37)' bulletin étant, par définition, le premier qui fait
