PROBABILITES TOTALES ET COMPOSEES

perdre à A sa majorité, chaque combinaison a a une dérivée et une seule.

Considérons maintenant une combinaison 3 du second groupe : elle commence par B

(^) BABAAABA;

A a la majorité à la fin.

Formons une combinaison ^' de la manière suivante : d'abord le premier bulletin B, puis le dernier bulletin de^, puis le pénultième, etc., c'est-à-dire les bulletins de |3 en ordre inverse jusqu'au second,

((3) BABAAABA.

11 est clair que B a d'abord la majorité, puis qu'il finit par la perdre.

Supposons que le {'2pY bulletin fasse perdre, pour la première fois, la majorité à B; ici, c'est le second.

La combinaison (3' sert à définir le nombre/? : il n'y en a qu'un.

Le bulletin qui occupe dans (3' le {ipY rang occupe dans i3 le ( m -(- n -4- 2 — 2/> )* rang.

Dans |3, je place un trait avant le terme qui occupe ce rang

(|3) BABAAAB|A.

Considérons enfin la combinaison suivante, que je désignerai par y et que j'appellerai la dérivée de (3; je commence par les bulletins à droite du trait (ici il n'y en a qu'un), et je reprends tous ceux qui sont à gauche.

(y) A BABAAAB.

Les bulletins de (3 ont été pris dans l'ordre /n+n-+-2 — 2/?, ..., m+n, i, 2, ..., m-\-n — 2p, m-h/iH-i — 2/>

Je dis que cette dérivée appartient toujours au iroisiènne groupe.

D'abord le (m -+- au- 2 — 2/3)* bulletin doit être A, puisque dans |3l' il fait perdre la nnajorité à B; donc y commence par A.

A ne conservera pas tout le temps la majorité. En effet, les 2p premiers bulletins de y sont, dans un ordre différent, les 2p premiers bulletins de (3'; et par hypothèse, après L; dépouillement de ces 2/> bulletins, il y avait égalité entre les deux candidats.

Donc, dans y, A aura perdu la majorité el y appartiendra au troisième groupe.

Ainsi, toute combinaison du second groupe a une dérivée, et une seule appartenant au troisième groupe.

Si, pour une combinaison a appartenant au troisièmi; groupe, je forme sa dérivée (3, puis la dérivée de (3, je dis que je retombe sur a.

Démontrons que le ^ de a correspond au p de (3.

En effet, formons (3'

((3') BBABAA|AABA.

Si je prends les 2q premiers bulletins de p', ce sont précisément les 2q premiers bulletins de a dépouillés dans un ordre inverse, et, d'après le lemme, B n'y perdra la majorité qu'à la fin; or, nous savons, d'autre part, que B ne perd la majorité dans (3' qu'au (2/>)' bulletin; donc

et la dérivée de (3 sera ot.