PROBABILITBS TOTALES ET COMPOSEES
Si j'ai afTaire à une combinaison (3, j'en forme la dérivée y : réciproquement la dérivée de (3 sera a.
On peut dire que les combinaisons du second groupe sont conjuguées avec celles du troisième, de telle façon que chaque combinaison d'un groupe soit la dérivée de sa conjuguée de l'autre groupe.
Donc
ml (n — i)!
N,-+-N,-hN3
C'est la probabilité que A n'aura pas toujours la majorité;
et
Ni
N,-hNî-+-N3
est la probabilité qu'il la gardera tout le temps.
19. Problème des dés. — On jette n dés et on demande la probabilité d'amener un point total égal à K.
Supposons d'abord qu'il ne s'agisse que de deux dés ; avec chacun d'eux, six cas différents peuvent se présenter, et les deux réunis offrent trente-six combinaisons.
5o CHAPITRK II.
Une seule correspond ail point K = 2
2 corresponjdent au point ... K = 3
2 est
Prenons le problème plus général de n dés; le nombre total des cas possibles est 6" : en effet, soit a, «j... <x„ une dés combinaisons, chacun des nombres a est susceptible de six valeurs, 1, 2, 3, ..., 6; donc le nombre cherché est celui des combinaisons avec répétition de six lettres n à n, soit 6".
Le point total devant être un nombre donné à l'avance, K,
Considérons l'un des 6" cas possibles, et, à ce cas, faisons correspondre le monôme
Faisons la somme II de ces monômes en faisant varier 2c,, y.-i ocn de 1 à 6.
qui peut s'écrire
paOBABatTBS TOTALES ET COMPOSKKS. ÔI
C'est un produit de n facteurs; faisons-y /, = /, — ...= f„-/.
Le monôme deviendra
et le polynôme II se réduira à
Soit N le nombre des cas favorables; il y a N monômes égaux à t^y leur somme est Nf", et si l'on fait H.V^", pour toutes les valeurs possibles de K
N La probabilité demandée est ^-•
La valeur de N est facile à calculer.
Il est la puissance n' d'une somme de termes en progression géométrique
{t — f)" et (i — 0"" peuvent se développer par la formule du binôme; en faisant le produit des deux développements, j'aurai le coefficient de <", c'est-à-dire N.
Reprenons le cas de deux dés. Il devient (/ — fy (i — 0~S et l'on a
Évaluons le coeffitient de t*^ en faisant le produit de ces deux développements. D'abord, K ne peut dépasser la; puis
nous considérerons deux cas, suivant que le point est de 2 à 7 ou de 8 à 12.
Si le point K est au plus égal à 7, K < 8, il n'y a à faire intervenir ni f*, ni l^'* dans le premier développement, et l'on n'aura à considérer que
Ainsi, pour les points 2, 3, 4, •••., 7, N a les valeurs respectives I, 2, 3, .,., 6.
Si K est égal ou supérieur à 8, il ne faut pas envisager ^'*, et l'on n'aura affaire qu'à
^M 1 + 2 ^ -h . . . ) — 2 ^» ( IH- 2 ^ -h . . . ).
Le coefficient de i^ dans le premier monôme sera K — i . Le coefficient de t^ dans le second monôme sera — 2: celui de ^^ — 4; •••; celui de t^^, — 2 (K — 7). Ainsi
On trouverait des expressions plus compliquées pour /i > 2.
20. Problème de la loterie. — Dans une urne, il y a /x boules numérotées de 1 à jx; on en lire n; quelle est la probabilité pour qu'il y ait K boules désignées d'avance?
Les n boules tirées poitent des numéros différents entre eux et compris entre i et /ji.
Les cas possibles sont en même nombre que les arrangements de fx lettres n -a n, si l'on lient compte de l'ordre de sortie
PROBABILITÉS TOTALEâ RT COMPOSÉES. 53
Quand il reste jj. — i-\- i boules, chacune d'elles a mf^me chance de sortie que les autres; nous supposerons toutes les sorties é&;alement probables.
Si l'on ne considère pas l'ordre, le nombre des cas possibles ne sera plus que celui des combinaisons de fx lettres n k n,
(li — n)\n\'
Je ne considère plus comme distinctes les hypothèses qui ne diffèrent que par l'ordre de sortie. Toutes les combinaisons restent-elles également probables comme les arrangements? Oui, car chacune correspond à ni arrangements.
Le nombre des cas favorables est celui des combinaisons où entrent les K boules désignées; il en reste, après leur suppression, fji — K dans Turne. Donc le nombre des cas favorables est le nombre des combinaisons de /x — K lettres n — K an — K.
(|x — /i)I(rt — K)!
La probabilité d'amener K numéros désignés à la loterie
est donc
{lx-K)\n\
21. Problème de la poule. — Trois joueurs A, B, C jouent aux conditions suivantes. Deux d'entre eux A et B jouent ensemble; C ne joue pas. Le perdant sort et est remplacé par C. Après chaque partie, le perdant est remplacé. Le jeu prend fin quand un joueur gagne deux fois de suite.
On suppose naturellement que le jeu est un jeu de
hasard, et que la probabililé de gagner une partie est pour chaque joueur.
Par exemple, on peut avoir :
I " partie AB ; A gagne :
2" partie AC; si A gagne, il est le gagnant définitif; si C gagne, B rentre;
3« partie BC; si C gagne, il est le gagnant définitif; si B gagne, A rentre;
4* partie BA; et ainsi de suite.
Admettons que A ait gagné la première partie. On demande la probabilité pour chacun des joueurs d'être le gagnant définilif. Soient x, y, z ces probabilités pour A, B, C.
Deux hypothèses sont d'abord possibles. Si A gagne la deuxième partie, c'est le gagnant détinitif, et les probabilités des trois joueurs deviendront i, o, o.
Si A perd, A prend la place de C, B se trouve dans les conditions de A,, et C rentre comme B; les probabilités deviennent 5, X, y.
Appliquons le théorème des probabilités totales et le théorème des probabilités composées.
A peut devenir gagnant définitif par deux hypothèses qui s'excluent l'une l'autre :
1° En gagnant la partie considérée; 2° En la perdant.
La probabilité pour que A soit gagnant définitif est donc
PROBABILITES TOTAiRfi ET COMPOSEES. 55
B ne peul gagner que d'une manière : A perd la partie considérée, el B devient gagtiant définilif ensuite.
De même pour C la probabilité sera
D'où
On remarquera que x -\-y + z=z i ; lorsqu'il y a plusieurs événements possibles et de telle façon que l'un d'eux et un seulement doive nécessairement arriver, la somme de leurs probabilités est i, mais ce n'est pas ici absolument le cas, car la partie pourrait se prolonger indéfiniment. Ici notre somme est i parce que la probabilité pour que la partie se prolonge indéfiniment est o.
On vijent de supposer que A avait gagné la première partie. Plaçons-nous au commencement du jeu; avant la première partie, C est dehors.
Deux hypothèses : A gagnera on B gagnera.
Si c'est A, B sortira, C entrera et les probabilités pour chacun deviendront
7 7 7 Si c'est B, elles deviendront
A peut devenir gagnatit définitif : soit en gagnant la pre-
