L'ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE
22. A un certain moment d'un jeu, un joueur a la probabilité p pour qu'il gagne; l'enjeu à empocher est at.
Par déHnilion, l'espérance mathématique est pa. Bien entendu, si a est une perte, pot. est négatif.
Si plusieurs hypothèses, de probabilités respectives Pif pi^ •-',Pnf amènent des gains respectivement égaux à a,, «2, ..., a„, la définition de l'espérance mathématique sera
Pi<Xi-^Pi(Xi-h. ..-T-pn ««.
Un jeu est équitable lorsque l'espérance mathématique est la même pour tous les joueurs.
Pour faciliter certaines questions, on convient parfois d'introduire des joueurs fictifs dont On évalue l'espérance mathématique.
Soient deux événements, A etB.
La probabilité de l'arrivée de A est. p-,
— — B est Pi
— — A ou de B est p^
— — A et de B est /?j
On a
Pi-^Pî=jh-+- Pi-
Si les deux événements étaient incompatibles, on aurait
56 CHAPITRE Il(.
dans celte formule /?* ^ o, c'est-à-dire le théorème de la probabilité totale; mais je suppose qu'il n'en soii pas ainsi.
Le gain à réaliser est de i^' si A se produit; de i^' également si B se produit.
L'espérance mathématique totale, en tenant compte des deux événemenls, sera />i -h/Oj.
Ainsi, que les événements soient compatibles ou non, l'espérance mathématique totale est la somme des espérances mathématiques partielles.
Si les deux événements se produisaient, le joueur toucherait 2'^
Cas plus compliqué : Un certain nombre d'événements Al, A2, ..., kg sont possibles : la probabilité pour que A, se produise est/?,, la probabilité pour que A, et Aa se produisent à la fois e'&i file, la probabilité pour que A,, Ay et A*^ se produisent à la fois eslp/jk-
On promet à un joueur de lui payer i"^"^ pour chaque événement qui se produit; s'il y en a ri, il touchera n francs. Son espérance mathématique totale est la somme de celles que lui assure chacun des événements, c'est-à-dire X/>,.
On lui promet autant de francs qu'il y aura de combinaisons de deux événements pris dans la série. Si deux événements se produisent, il touche i^'; si trois événements A, B, C se produisent, il touche Sf', car il y a trois combinaisons AB, BC, CA; si n événemenls se produisent, il
touche francs.
Quand deux événements A, et Aa se produisent, cette combinaison lui assurant j^', l'espérance mathématique est Pu, et l'espérance mathématique totale est alors
^Pik'
l'espbrancb mathématique. 59
Si n événements se produisent, et qu'on donne au joueur
i^' par groupe de 3, il touchera alors ^ (^- '") (^ — 2)
et son espérance malhématique sera n{n — j) {n — 2)
Jouons maintenant avec les conventions suivantes : je paie i^' par événement qui se produit; le joueur me paie i'"" par combinaison de deux événements; je lui paie 1'' par combinaison de trois événements; il me paie i^"" par combinaison de quatre événements, etc.
Evénements i, 2, 3, 4.
Gain du joueur. . . i, — f, i, — i, ...
Son gain est
quand il y a « événements réalisés.
Si n rr o, a = o.
On a, en général,
n(n — i) fi(n — i)'(n — 2)
Donc, pour « > o, <j= i.
Ainsi, quand aucun événement ne se produit, le joueur ne touche rien; quand il s'en produit n, il touche toujours
Son espérance mathématique est
P =: Ipi — Ipik -+■ ^Pijk — • •
6o CHAPITRE III.
D'où, une généralisation du théorème des probabilités totales : la probabilité pour que l'un, au moins, des événements se produise est
l.pi — léfik H- ^pljk —
23. Problème de la rencontre. — Dans une urne, il y a p. boules numérotées de i à /jl; je les tire les unes après les autres, jusqu'à ce que l'urne soit vide. Il y a rencontre si, au t* tirage, je tire la boule numérotée i.
Cherchons la probabilité pour qu'il y ail au moins une rencontre.
D'abord la probabilité pour qu'il y ait rencontre au rang
i est -.En effet, il y a en tout autant d'hypothèses possibles
que de permutation de i*. lettres, soitjjt! Combien sont favorables? Celles où la i« boule est au rang /; je puis y permuter les [j. — I autres, donc (jjl — i)! cas favorables. La probabilité est
^'- /xl -fx
Clierchons la probabilité pour qu'il y ait rencontre au «• et au A* tirage. Deux boules ont un rang déterminé : si nous permutons les fi — 2 autres, nous verrons que le nombre des cas favorables est {^— a)!; la probabilité est
Pik
lJ.{ix-i) De même
PiJk
liiix—i) fx — a) Toutes les /), sont égales; conmie il peut y avoir |ji ren-
l'espérance UATHéMATIQUE. 6l
contres
Pour calculer Ipik, remarquons que le nombre possible
u i u — I ) des doubles rencontres est '——^
De piême
Si je promets à un joueur autant de francs que de rencontres simples, son espérance mathématique sera i ; elle
sera -, s'il reçoit i^»" par combinaison de 2 rencontres;
-, s'il reçoit i^' par combinaison de 3 rencontres, etc.
Quelle est la probabilité pour qu'il y ait une rencontre au moins? C'est ce que nous avons appelé tout à l'heure P.
*^-7T'~rî"^3Ï pi'
le dernier terme correspond au cas de ^x rencontres simultanées. Les termes de P sont les fx premiers termes du développement de i - e-», et cette série converge avec une rapidité extrême. L'erreur est d'autant plus petite que p est
plus grand, et, pour fx^ao, elle est inférieure à ^>
c'est-à-dire insignifiante.
La probabilité cherchée est i — e'K
2/>. Valeurs probables. - Soit pt la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à ai.
62 GilAPlTAK III.
Soit Pi la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à «2-
Soit p,i la probabilité pour qu'une certaine quantité a soit égale à a„.
La valeur probable de a est, par définition,
c'est l'espérance mathématique d'un joueur à qui l'on promettrait une somme égale à a.
La valeur probable de a} n'est nullement égale au carré de la valeur probable de a. Par définition, la valeur probable de a* est S,afpi, tandis que le carré de la valeur probable de a est {^aip^y.
Soient b la valeur probable de a\ c celle de a.
On a
b — c^ = l pilaf pi— {la/piy,
car 2épi:= 1.
Nous transformerons le second membre à l'aide de l'identité
ix*i\'^ - {i\x'y='i{\Y' - Y\' y-,
où les Y sont des X changés d'indice.
Nous poserons
d'où
XX' =: a,pi et
lX'=lpi,
l\'\=lafp,; l\X'=laipi.
L'ESPÉnANCE M\TiiKMATrQUE. 63
Par conséquent,
b — c^ — l{\jpiai,\jjl— ^ Pkais/piY , b — c- = IpiPkiok — aiY.
PiQ\ pk sont essentiellement positifs; donc b — c' est supérieur à zéro et la valeur probable du carré de a est toujours plus grande que le carré de la valeur probable de a, sauf quand a* = a^ c'est-à-dire quand a ne peut prendre qu'une seule valeur.
11 est clair que la valeur probable de la somme de deux fonctions est la somme des valeurs probables de ces deux fonctions. En revanche, la valeur probable du produit de deux fonctions n'est pas égale en général au produit de leurs valeurs probables. Ce que nous venons de dire au sujet de la valeur probable du carré le prouve suffisamment.
Soient cependant / et œ deux fonctions indépendantes l'une de l'autre.
Soient^, la probabilité que /=:/,, et g* celle que 9 = 9;^.
Les deux fonctions étant indépendantes, la probabilité pour que /=// en même temps que 9 = op/t sera />, q^y en vertu du théorème des probabilités composées. La valeur probable du produit/9 sera alors
c'est-à-dire au produit de la valeur probable de/ par celle de 9.
25. On promet à un joueur (toujours en tirant dans une urne contenant ix boules et sans remettre les boules dans l'urne) de lui donner 1^' à chaque mtiaùmum de la liste
64 CRAPITHE m.
que l'on obtient, en écrivant les numéros sortis dans leur ordre de tirage. Quelle est l'espérance mathématique?
Supposons qu'il y ait maximum au i^ tirage; on a tiré trois boules a, b, c, la (t — i)% la t* et la (/-+- i;* et, puisqu'il y a maximum, a<ib> c.
Il y a jiz! cas possibles. Sans loucher aux autres boules, je permute entre elles a, b, c; six combinaisons sont possibles, dont deux sont favorables, a, b, c et c, b, a.
Dans ce groupe, la probajiililé pour un maximum est
donc ^. Or, il y a ^ de ces groupes, correspondant au t* tirage, mais, pour ce tirage, l'espérance mathématique est |,
L'espérance mathématique totale sera la somme des espérances mathématiques partielles ; d'autre part, sauf conventions spéciales que je ne suppose pas, ni le premier, ni le dernier tirage ne peuvent donner lieu à paiement.
tX 2
L'espérance mathématique totale est donc ^-—5 — .
26. Soient n joueurs qui ont chacun un dé et mettent ôhacun i^' comme enjeu : celui qui amènera le point le plus fort ramassera les «francs; et si plusieurs joueurs obtiennent le même point, plus fort que celui de tous les autres, ils se partageront l'enjeu.
Le premier joueur, A, amène le point K : quelle est, à ce moment, son espérance mathématique?
La probabilité pour qu'un autre joueur délerminé amène
le point Kest-^; pour qu'il amène un point plus petitqueK,
