I. ESPÉR/VNCE MATHKMATIOUK

Quelle est la probabilité pour que A partage l'injeu avec i — • joueurs déterminés? Ces i — i joueurs doivenlamener le point K, les n — i autres un point inférieur à K. La probabilité cherchée est donc une probabilité connposée, le

produit fie (^ ) par ( — ^^)

Ainsi la probabilité pour que Apanage avec i — i joueurs

déterminés est ^^^^ Onpeutformerautantdegroupes

de ^ — I joueurs qu'il y a de combinaisons de n — i lettres

i— 1 a i— i,so)l — -T-— i — -T-

Chacune de ces combinaisons donne à A la probabilité ci-dessus, et le gain correspondant est -r; l'espérance mathématique de A est

(a — 1)1 (K-^i)"-^ n ni (K — i)"-'

{i — i)l{n — i)\ 6"-' i~il{n — i)\ 6"-'

Il faut faire la somme de ces espérances mathématiques depuis i=r I jusqu'à i=n, ce dernier cas étant celui où l'enjeu est partagé également par tous. Or

2 m ilin —

ni (K — 1)«-'

{n — i)l 6''-> est le développement du binôme

à part le terme qui correspond à /=o, soit

6"- L'espérance mathématique est donc

27. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. — La théorie de l'espérance mathémalique a donné lieu à ce paradoxe célèbre. Paul lance une pièce de monnaie; si elle retombe pile, il paie i^'à Pierre et la partie est terminée; si elle retombe face, on recommence. Si au deuxième coup on amène pile, Pierre reçoit 2'' et la partie est terminée; si l'on amène face, on recommence. Au troisième coup, Pierre recevra ^'% ou bien la partie continuera, et ainsi de suite. Si la pièce présente face n fois de suite et que le (^n -h i)" coup soit pile, Paul paie 2" francs.

Quelle somme doii donner Pierre à Paul au commencement de la partie pour que le jeu soit écjuitable? En d'autres termes, quelle est l'espérance mathématique de Pierre?

La probabilité d'amener pile au premier coup est -; l'es-

perance correspondante est- La probabilité d'amener face au premier coup, puis pile au second, événements indépendants, est une probabilité

composée, -r- L espérance mathématique est j X2=--

Au troisième coup, cette espérance est - x 4= -•

Au «« coup, —— r X 2" = -

Tous les termes de la série sont égaux à-; l'espérance

mathématique de Pierre est infinie : il n'achèterait jamais trop cher le droit déjouer.

On a voulu expliquer ce paradoxe de plusieurs manières. Paul n'est pas infiniment riche, a-t-on dit : sa forturve est comprise, par exemple, entre ip et 2P-*-^ ; si l'on amène pile au (/? -I- i)* coup, il devra 2^ francs et pourra payer; mais, si