LE THÉORÈME DE BERNOULLI
33. Nous abordons, maintenant, les théories qui se rapportent à la formule de Slirling, au théorènne de Bernoulli et aux probabilités des causes déduites d'épreuves répétées.
Supposons que les deux événements A et B, de probabilités respectives p et </, soient contradictoires. A chaque épreuve, l'un d'eux se produit certainement, et ils ne peuvent se produire tous deux; alors
la probabilité totale est égale à la certitude.
On répète m fois l'épreuve : h chaque épreuve l'un des deux événements se produit. Ainsi, avec un dé, l'événement A peut être l'arrivée du point 6 et l'événement B celle
des autres points ;/>nz^, et q =z--
A se produira un certain nombre de fois et B aussi. On demande la probabilité pour que A se produise a fois, et B m — a fois.
On suppose que la probabilité reste la même à chaque
épreuve. Avec le dé, la probabilité est toujours ^ pour amener le point 6. Au contraire, avec un jeu de Sa cartes,
la probabilité de tirer un roi esi 0 ^ '^ première épreuve;
elle est ^^ ou ir- à la deuxième, suivant qu'on n'a pas amené 3i 3i
ou qu'on a amené un roi à la première.
34. Cherchons d'abord la probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre déterminé
AABAABB.\B;
les probabilités de chacun de ces événements seront
ppqppqqpq,
et la probabilité composée, la probabilité pour que tous ces événements se produisent à la fois, est
En général, la probabilité pour qu'il se produise dans un ordre déterminé a événements A et m — a événements B est
Elle est indépendante de l'ordre considéré.
35. Si l'on veut que les m épreuves donnent, dans un ordre quelconque, a. événements A et /n — a événements B, en vertu du principe de la probabilité totale, la probabilité cherchée sera la somme d'autant de termes égaux à paqm-a qxx'W y a d'unités dans le nombre des permutations avec répétition de a lettres A et de m — a. lettres B; ce nombre est
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La probabilité pour que les événements se succèdent dans un ordre quelconque est
al (m — a)l ^
c'est l'un des termes du développement de (/> + q)'".
Si je fais la somme de tous les termes que je puis obtenir en faisant a égal à o, à i, ..., à m, j obtiens
La somme des probabilités de tous les cas possibles doit être égale à l'unité, puisqu'il est certain que l'un de ces cas possibles se produira, et un seul.
36. Quelle est la plus grande de toutes ces probabilités? Je vais calculer le rapport d'un terme au précédent;
Ua+i al (f^ — a)! , m — <x p
