LE THÉORÈME DE BKRNUULLI

J'appelle h Vécart el je vais chercher la valeur probable de la valeur absolue de cet écart, ainsi que la valeur probable de son carré.

Occupons-nous de la valeur probable de h, de la valeur probable dn module \ h\ de â, de la valeur probable de hK

Je vais considérer la valeur probable d'une quantité quelconque M; c'est iMwa-

^ " jLà a! (m — oc)! ^ ^ '

le second membre est un polynôme entier, homogène et de

degré m par rapport à /? et çr, que je désigne par F (/>, q).

Cherchons à en déduire la valeur probable de Ma; c'est

y Ma— r- rp*a'«-*.

Nous avons passé d'une expression à l'autre en multipliant par a les termes successifs; en différentiant p*q"*~^ par rapport à p, nous aurions eu a/>«-' ^"'-«; la valeur probable de Ma est donc

pd¥ dp

Les nombres p et g ne sont pas indépendants, puisque leur somme est i. On a fait la différentialion comme s'ils l'étaient, on a difîérentié par rapport à p comme si q était constant. De plus, M peut dépendre de p: h dépend de p. J'éviterai cette confusion de la manière suivante : A la place de p et q, j'introduis deux variables auxiliaires, a; et/, et je considère la fonction

Si M dépend de p, je n'y remplace pas p ei g par ce et y; la valeur probable de M est bien alors F {p, g), et

lé^^'aUm-a)!

dF est bien ce -r— •

On y remplacera or et y par p et g après la différentiation.