Appliquons ce qui précède au problème qui nous occupe

Soit d'abord M = i ;

si je fais ensuite il vient

et, en effet, la valeur probable de i est i.

Pour avoir la valeur probable de a, je différentie F (ce, y) par rapport à x, et je multiplie par jf, ce qui me donne mx{x-hy)'"~^; puis, je fais T=p, y = g. La valeur probable de a est mp.

Pour avoir la valeur probable de a\ je différentie le terme ma; {x -+- y j""^^ parrapport à a;, puis je multiplie par j:; ce qui me donne d'abord

puis

mx{x -h y)'"-^ -h ni{m — \)x^(x -h y)""-^.

En faisant x —/> et/ =: ^, j'obtiens, pour la valeur pro-

LE THKOKEMK DE BKRNOULl.l. 8l

bable de a\

nip -(- ni-p^ — mp"^.

Cherchons, maintenant, les valeurs probables de h et A'. La valeur probable de h sera la valeur probable de a, moins la valeur probable de mp, c'est-à-dire

mp — mp = 0 .

La valeur probable de l'écart est donc nulle. La valeur de A* est

h^= a- — impa. -\- m^p^x

sa valeur probable est donc

( mp -+- m'^p^ — mp- ) — imp.mp -\- m}p-^ ou

mp{\—p), c'est-à-dire mpq.

La valeur probable du carré de h est mpq.

On vérifiera en passant qu'elle est effectivement plus grande que le carré de la valeur probable de h, qui est nulle.

39. Passons à la valeur probable du module de A; cherchons d'abord quelle serait l'espérance mathématique d'un joueur à qui on promettrait une somme i si l'écart était positif, et o s'il était négatif,

2a« doit se borner aux termes dont l'écart est positif. Soit up le dernier terme de I«« pour lequel l'écart est positif; on a

^>mp et (3 — i<m/?,

et l'espérance mathématique de ce joueur serait

Si CHAPITRE IV.

c'est-à-dire F (/?, q) en posant

Si l'on supposait, maintenant, qu'on ait promis à ce joueur

une somme «, son espérance mathématique sera .r — » en

faisant x = p, y =: g après la différentiation. Enfin, la valeur probable d'une fonction qui est égale à h pourA>o et à o pour A < o sera donc l'espérance mathématique de oe joueur à qui l'on promet a — mp quand a > mp; c'est

donc

dF „

^^-mpF.

F est un polynôme homogène et de degré m en x el /;

donc

- dF dF m¥ = x-j- -\-y—-.

dx "^ dy

L'espérance mathématique ci-dessus devient rfF rfF rfF

''di-''''d^-pyw

dF dF

en faisant x =/>, y := y, après différentiation. On a d'abord

dF dF' d'autre |>arl

—- T^ mx'"~^-h ni(m — i)x"'-^Y-h. ..

dy ' ^ ' y