an — 1) v^aTT-hi

Au numérateur figurent les n premiers nombres pairs, au dénominateur les n premiers nombres impairs; je mtil-

tiplie haut et bas par 2.4... 2/1; il vient

Cette fraction a pour limite 1 /-> quand n augmente indéfiniment. Si nous, y remplaçons les factorielles par leur valeur approchée pour x très grand, elle devient

{2n)^"e-^"C\/2n\/2n-h i OU

et. quand n grandit indéfiniment, elle se réduit à -•

Celle limite étant la même que la précédente, i/->

on a

45. Valeur asymptotique de //«• — Quand deux événements contraires, A et B, ont pour probabilité respective/? et «7, de telle sorte que p -\- q z=z 1, nous avons vu que, sur m événements, la probabilité pour qu'il s'en produise a égaux à A et m — a égaux à B est

OL] ( m — (x)l

Calculons une valeur approchée de ««, en supposant m très grand, et de plus

APPLICATION DE LA FORMULE OR 9TIHLING. 8g

>. \Jm est très grand quand m est très grand, mais nous supposerons X fini et, par conséquent, l'erreur relative très petite, quand on prend mp pour valeur de a, c'est-?i-dire

— voisîo de I, nxp

On a comme conséquence

^i — a c:: mq — X y/m, puisque

Je remplace dans «a chaque faclorielle par sa valeur calculée à l'aide de la formule de Stirling,

m'^e-"' v/au/n p°-q"^-^

a"e-«\/27rA(m — a)'«-*e-""-«)y/az(/n — aj m"*p'^g"^-'^ / m

a.'^{m — «)'"-« y iniim — a)

En réunissant les termes qui ont pour exposant a et ceux qui ont pour exposant m — a,

2 ua ( m — a ) Or

a(m — a) (rhp -^ l\/m) {mq — Is/m)

— tend vers l'unité ainsi que : le radical qui entre

mo mq

dans Wa a pour limite

iTzmpmq \pîïunpq

Nous pouvons écrire

logaa= log , — a log— - — (m - a) log

s/a TT m/77 ^ ^

loga«= log ' r — (m/? -H A y/m) log ( iH = )

\i-Kmpq \ P\"^J

-{mq — 'k\fi^)\o^i I -=y

V q\/mj Pour m très grand, nous pouvons développer les logarithmes de I H 7=6^ ^^ ' 7= PSi" I3 formule qui

donne le développement de log(i -1- x). Ainsi,

{mp -H > y/m) log ( 1 h —

devient

{mp -H \\/m) i

psfm 2 p'^ m. 3p^m\/m

Je cherche, en ce moment, une valeur asymptotique de u». c'est-à-dire une valeur telle que le rapport de u^ à cette valeur tende vers i quand m augmente indéfiniment; je pourrai donc, dans le produit précédent, négliger tous les termes qui tendent vers o, ceux qui contiennent m ou v^ au dénominateur.

Il restera

Aum 1 > OU A\Jm-i

^ zp p 2/7