Nous sommes donc ramenés à considérer, en posant
ipq l'expression suivante
Elle représente la probabilité pour qu'une quantité x soit comprise entre .r etx-\-dx; pour qu'elle soit comprise entre .^o et Jt'i, la probabilité deviendra
pour qu'elle varie de — oo à -t- oo,
f^' h dx£^
En posant hx:=y, cette dernière intégrale se transforme
en
dy e-J-'
\/7r C'est une intégrale connue, dont la valeur est i.
49. Arrêtons-nous surquelques conséquences dececalcul. La probabilité pour que X soit comprise entre — oo et -hoo est I, ce qui paraît une tautologie. Cette conclusion
n'était pas si sûre: la formule dont nous nous sommes servis était approchée, et vraie seulement si > est petit par rapport à \fm.
Soit d'abord
a' := mp H- ?k \J m ;
la probabilité pour que ). soit compris entre >o et >., tendra, d'après ce qui précède, vers
\^2npq
quand m croîtra indéfiniment. D'autre part, quand \ et /i s'éloignent indéfiniment, l'intégrale tend vers l'unité. Posons maintenant
a> nip{i — £), et
a < mp{ i tFe).
Soit F (e, m) la probabilités pour qu'il en soit ainsi. Je dis que je puis prendre m assez grand, e étant donné, pour que la différence
soit plus petite qu'une quantité donnée n. Choisissons d'abord un nombre 1 assez grand pour que la différence
^iTipq
soit plus petite que -• Cela est possible puisque l'intégrale
tend vers i , quand A augmente indéfiniment. Une fois X choisi, je prendrai m assez grand,
APPLICATION OE LA KOHMl'LE VE STIRLING.
1° Pour que
d'où
ps/r
2" Pour que la différence
cela est possible, car, pour X donné, la limite de la probabilité
\ps/m )
pour
psjlil est représentée par l'intégrale /
On aura alors
En résumé, la probabilité pour que a soit compris entre mp { 1 — e) et mp { i -\- e), quelque petit que soit e, tend vers l'unité quand m augmente indéfiniment.
50. On peut se demander quejle est la valeur probable de x"\ ce sera par définition
hx'^ dx
r^ hx'^o
Si n est impair, cette intégrale est nulle. Si n est pair, elle vaut
hx" dx
Nous avons cherché la valeur probable de l'écart en valeur absolue; cherchons Ifi valeur probable de la valeur absolue de ce", |x" |. C'est
sJtz La fonction sous le signe / est paire; cette intégrale vaut
donc
hx'^ dx
51. Ainsi, dans tous les cas, nous sommes ramenés à cette intégrale, qui se ramène elle-même aux intégrales eulériennes.
Posons
dou
1 h dx = - K * dy.
L'intégrale ci-dessus devient
C' l dyy^y^ ou
2/ .l--IJ-J-e-y,
-i— / dyy ■' e-
C'est l'intégrale eulérienne
/i^s/tÎ
