pq I

^ Iis/t:

52. Nous avons cherché la valeur asymptotique, pour très grand, du terme

en supposant a j= mp -+- ï. \/m. Cette valeur asymptotique de «« est

^2nmpq

APPLICATION DE LA KOHMULK I)K STIRLINO. 99

Cherchons, maintenant, la valeur asymptotique <lo «« pour a = me.

On trouve, en comparant les deux expressions de a,

X = (e —p.) \fnî.

On pourrait donc être tenté de croire que la valeur asymptotique est

e *P7 sJi-Kmpq

mais cette expression est inexacte.

La valeur exacte de !/« est

al (m — a) I '

Si m et a sont très grands, l'expression asymptotique de ua est

m'"e~'" y/a nm

a ^m-OL

a«e-=' y/aTra (m — «)'"-« £^-('"-a) y/27r(/?7 — a)

Le rapport de ces deux expressions de «« tend vers l'unité, toutes les fois que m el m — oc. augmentent indéfiniment,

et qu'on a

et ^ tm,

e tendant vers une valeur finie.

Je vais simplifier l'expression asymptotique de Wa

(x'^{m — a)"^-'^\ 2 7ra(m — a)

Soit (xz= em; je pose

m — a r= e'm, d'où

lOO CHAPITRE V.

L'expression asymplotique devient

el, comme m'" =r m'"' x m"»^'

')'"^'V 2 7rmee''^'"'^'^''

\ me J \mt' ) y i-nmtt'

Soit.

alors

53. Je dis que A est toujours plus petit que i. £, £ restant constants, je fais varier p el q, en les laissant liés par la relation.

Quel est le maximum de A?

Ce maximum a lieu quand/)^^'^' est maximum, c'est-à-dire quand p Qi q sont proportionnels à leurs exposants :

Ainsi le maximum sera atteint quand

/? = £, p=t', et alors

Le raisonnement suivant nous fera d'ailleurs mieux connaître les variations de A.

6k. Je vais supposer/? et q constants et faire varier £elf'.

APPLICATION DE LA FORMULE DK STJULING. IOI

Pour cela, je considère

log— = e log - -H £ log--

Comment varie ce nombre? Je prends sa différenlielle

totale

de log - + ds' log \- de-h ds' :

elle doit s'annuler pour qu*il y ait maximum. Mais e, e' ne sont pas indépendants. On a

dî-\-

logi

=rlog-,

p-hrf

maximum sera atteint

pour

et ce maximum sera égal à l'unité.

Comment variera A? Je fais e = 0, A est égal à q; je fais 6 =: I, A est égal kp.

A part de q, croît jusqu'à i pour £=/>, puis décroît jusqu'à p.

55. Là formule qui donne une valeur approchée déni est ni z=n''e-''\/7iF{n).

F {n) tend vers une limite, y/ârr, quand n augmente indéfiniment,

(n-Hi)l = (n-4-i)«-^'e-<''+«V'^-t-' ^i^ + 0-

On en tire

Il s'agit de savoir si F (n) va en croissant ou en décroissant avec n, c'est-à-dire si le logarithme du premier membre est positif ou négatif.

Je divise le second membre par n -+■ -: il reste

logl '-f-^ ]•

Je pose n — — et je considère la fonction

<fix)~ — l0g(l -HX),

c'est-à-dire

îC -f- /,

(p (n) est-il positif ou négatif? a: varie de o à i, Pour X =i o,

<p(o):=o; pour jr = I,

9(0= ^ — loga.

Comme logî = 0,69. . ., 9(1) est négatif.

APPLICATION DE LA FORMM.E DE STJRLINC. 1 0.1

Il faut voir si la dérivée s'annule;

{.T ■+■ 2)"- JC -1- I

(jr+'.>. )^ X -f- I (,r 4- i) (a- -t- ?. )*

Le dénominateur est toujours positif; le numérateur est égal à — j?'. Donc 9'(^) est toujours négatif, par conséquent <p (a;) décroît; donc elle reste négative et

F(«-+-i)<F(rt).

n z=: i, ni ■= i^ et l'on a

i = e-'F(i), c'est-à-dire

On a aussi

F(00 ) := s/lu.

F (n) va toujours en décroissant, mais la décroissance n'eal pas très grande, car

e=r2,8,., et V'sTr = 2, 5. . . . 56. Écrivons la valeur de ««,

* ■ a«(m — «)'«-« ^ ^ V or(m — «) F(a)F(m - zj

Il s'agit de trouver une limite supérieure de cette expression. D'abord

¥{m) < F(m — a), donc

Ff:ç)F(m -a) F{oc)

Or-=- — esi lui-mêmepluspetilque— = ; la valeurasymp* toiique de u^ est en même temps une limite supérieure.

57. Quelle est la probabilité pour que a soit plus petit que em?

Cette probabilité, II, est

Ilrz: «0-4- </,+-. . . -r- «p.

avec

[3 < £/«, [3 -^ I ^em.

Je suppose

Je vais d'abord écrire «0, «,, ..., «p vont en croissant.

Nous avons une limite supérieure de wp-^; si donc

A '" \lTm

Soit maintenant Alors

P -H I >em.

11 s'agit de trouver une limite supérieure de u^\ je pose

APPLICATION DB lA POnMUt.R TtE 8TIALING. 105

Si — était éîçal à £, on auraii

"'^<[^[^)Y \hw^\

Or, A est une foncUon de - qui va en croissant avec e, jusqu'à f = />, el<p(£)>9(j-j.

Comme il s'agit d'avoir une limite supérieure,

ttft< A'"4/ 3-

D'ailleurs p est supérieur à zm — i,

Donc

Pour en revenir à H, inférieur à ap ((3 -♦- i), nous remarquerons que |3 H- I est lui-même inférieur à £m -h i ; et nous arriverons finalement à une formule un peu plus compliquée que pour tm entier :

tm entier, Il < A'

fTrn

itier, n<A"'i/ —

tm non ent ~ " ' '

Ainsi :

La probabilité pour que a soit plus petit que e/n, si e est plus petit que />, est toujours inférietire à l'une ou l'autre quantité que nous venons de calculer ci-dessus.

Cette probabilité tend vers zéro quand m croît indéfini-

i06 CHAPITRE V. - APPLICATION DB LA FORMULE DE STIBLINC.

ment, pourvu que t<p. C'est le théorème de Bernoulli, qui peut s'énoncer encore ainsi :

La probabilité pour que oc soit compris entre mp{i-B) et /n/>(i + 9) tend vers l'unité quand, 0 restant constant, m croît indéfiniment.