LA LOI DE GAU8S ET LES ÉPREUVES RÉPÉTÉES. I
La valeur probable du carré de ax est
59. Supposons que la probabilité pour que x soit compris entre x^ et x^ soit exprimée par l'intégrale
et que la probabilité pour que/ soit comprise entre /o ^^ Xi soit exprimée par l'intégrale
Supposons en outre que ces deux quantités soient indépendantes, ce qui peut se traduire par les termes suivants : la probabilité pour que la première soit comprise entre x^ et x^ est indépendante de la probabilité pour que la seconde soit comprise entre/oCt j,.
La valeur probable de x* est —7^» celle de y"^ ^^^^Jn'
Quelle est la probabilité pour que le point, dont les coordonnées seraient x et v, soit compris à l'intérieur d'une aire donnée?
Occupons-nous d'abord d'une aire rectangulaire.
La probabilité pour que le point x, y tombe à l'intérieur du rectangle» c'est-à-dire pour que les deux systèmes d'inégalités
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soient satisfaits à la fois, est représentée par la double
no CHAPITRE VI.
intégrale suivante, étendue à tout le rectangle
rr^e-A.^>-AWxrfy.
Si l'aire est quelconque, je la découpe en rectangles infininfient petits. La probabilité totale sera la somme des intégrales doubles relatives à ces rectangles élémentaires; ce sera, en définitive, l'intégrale double étendue à tous les éléments de l'aire.
60 Supposons maintenant que l'on ait
La probabilité pour que z soit compris entre z el z -^ dz
est celle pour que le point i^yf) soit compris entre deux droites plarallèles infiniment voisines; la probabilité cherchée sera celle qui est relative à cette aire infiniment petite.
Je vais décomposer cette aire infiniment petite en éléments.
Pour cela je partage Vaxe
Fig. I.
des a: en une infinité d'éléments, et par les points de division je mène des parallèles à l'axe des y; j'obtiens ainsi une infinité de petits parallélogrammes : quelle est l'aire de l'un d'eux, ABCD? Les points A et B sont sur la droite
Fig. a.
LA LOI DK GAtSS KT LB3 ÉPREUVES RÉPÉTÉES. III
les coordonnées de A sont x et z — x, celles de b, x-h dx et z — X — dx.
Les points C et D sont sur la droite
