X -^- dx et z -h dz — x — dx
L'aire du parallélogramme est dxdz.
L'intégrale double sera la somme des éléments relatifs à chaque parallélogramme
dx dz ~ €-h^x^h-H*-T)\
Dans une première intégration, y et z doivent être regardées comme constantes et x varie de — oo à -+- oo. L'intégrale est donc
Posons
c'est-à-dire
ou
''XZ -h
en posant
9 — {ax—by
a — ^h^~hh'
cz=h"z^—bK
Nous avons à évaluer
/ e'^dx
ou
je-^'"-^"'-^dx.
Posons
ax — b zzzc^;
cette intégrale
! est
et Hnalement,
coname a; ou ^ varie de -
- ac à -h 00,
La probabilité cherchée, pour que z soit compris entre z et z-\-dz^ est donc
^ hh' e-'
dz — =:
On a, d'autre part,
/r--hh'- ~ k--\-h'^
La probabilité en question est donc
La loi de probabilité est normale.
La valeur probable de «- ou de {x -h/)* sera
ou
LA LOI DE GAU9S ET LES ÉPKBUVBg RfcPÉTKER. Il3
c'est-à-diie que la valeur probable de (x -h yy est la somme de la valeur probable de jc* el de la valeur probable de y\
La valeur probable de ijry est, en elTei, nulle ici, et nous ne l'aurions pas su a priori, si la loi de probabilité n'avait pas été normale.
Cette élégante démonstration e-st due à M. d'Ocagne.
61. Problème des épreuves répétées. — Deux événements contraires, A et B, ont pour probabilités respectives p el q. Ainsi une urne contienljjt boulesblancbes et v boules noires,
on en tire un très grand nombre de boules m. en remettant chaque fois la boule sortie dans l'urne. Si l'on a tiré a boules blanches, il y a beaucoup de chances, d'après le théorème
de Bernoulli, que — ^diffère peu de l'unité. mp
La valeur probable de X* sera égale à pq.
Changeons un peu les conditions, de manière que le hasard ne préside plus seul à la distribution des coups. Considérons deux urnes, la première renfermant \k boules blanches et v noires, la seconde / blanches et v' noires, et convenons de tirer allernalivemeni dans l'une et dans l'autre.
Après un très grand nombre, m, de tirages, a blanches sont sorties et m — a. noires. Alors — sera très voisin de p qui est ici égal à
2 jJL -h V 2 /Jl' -H v'
Mais la loi des écarts sera-l-elle la même? 11 ne peut en être ainsi.
Ii4 CHAPITRE VI.
Supposons que la première urne ne renferme que des blanches, la seconde que des noires: nous aurons tiré —
t I , ^ TTl . ^ , OL , . . ' Il ,
blanches et — noires. Alors — sera égal a -» et 1 écart sera nul,/? étant aussi -• La valeur probable de X* sera zéro;
elle devrait être égale à 7» car
PÇ= - X - — 7
La loi des écarts n'est donc pas la même.
62. Je veux montrer que, si une autre cause que le hasard intervient, l'écart probable (ou la valeur probable de >.*) sera plus petit que si le hasard seul avait agi.
Les m épreuves forment deux catégories, l'une de (3/n, l'autre de (3'm épreuves, et l'on a
Supposons que les événements A et B aient respectivement, pour probabilités, p ei g dans la première catégorie, p' et g' dans la seconde.
L'événement A se présente a fois dans la première, a' fois dans la seconde ; B se présente (3m — a et (3'm — a' fois.
Le nombre total des épreuves favorables à A sera a -h a':
« sera très voisin de p/np, et a de 6'mn ; -r ei -r-, ,
pmp p mp
s'écarteront très peu de l'unité; a -f- a' sera très voisin de
(3m/> ■+- ^'mp' , c'est-à-dire que l'écart sera de l'ordre de
grandeur de \^, de sorte que la répétition des événements
sera à peu près iamème quedansuneseulesérie d'épreuves,
LA LOI DE CAtSS ET LES EPREUVES RÉPÉTÉES. Il5
on les probabilités de A et de B seraient respeclivenient
^P+^'p' el (3(7 + (3'(7'.
Cherohons la loi des écarts. Je vais poser a — P mp -f- >. y/(3 m.
a'=^'nip'-h'KW^'m.
Pour l'épreuve totale, ce serait
(3/) -K (3'/?' étant la probabilité de A dans l'ensemble des épreuves.
Composons les valeurs probables de ï.-, X'-, X"', que nous écrirons (>.»), (X'«), (>"*)•
Nous aurons
{r-)^pq, {}.'') =p'g\
e^de même, si le hasard agissait seul, on aurait
Cherchons sa véritable valeur.
Nous avons
X'^rXv/^-hX'v/p.
Les deux événements sont indépendants : la probabilité pour que X soit compris entre deux limites données est indépendante de la probabilité pour que X' soit compris entre deux limites données. Les lois de probabilités de Xv/,3 et X' y/p^ seront normales, et la loi de probabilité de leui somme X y/p + X' y'jâ' sera aussi normale.
Il6 CHAPITRE VI.
La valeur probable de X"* sera
Telle sera la véritable expression de la valeur probable du carré de l'écart.
Comparons les deux valeurs; la différence est
OU. en rappelant que p -h j3' =r i,
c'est-à-dire
^^'{pq' +p'q-pq—p'q') OU
Or
La différence envisagée est donc positive, et l'on a
€3. On utilise cette propriété dans la statistique. On a relevé des observations dans un Tableau, et l'on veut voir si les différences observées sont dues au hasard, ou si le hasard n'intervient pas seul.
On compare, pour un certain nombre de cas, le rapport du nombre des arrivées de A à celles de B.
Soient N et N' le nombre total des arrivées de A et de B;
on aura
Divisons, maintenant, le Tableau en plusieurs séries; soit
LA LOI DB GAUSS KIT LES ÉPBKUVES itRI>tTecs. I17
dans chacune de ces séries m le nombre total des épreuves el
a :=: pin -t- X y/m
le nombre des épreuves favorables èr A. On calculera À pour chaque série ; on chercherai» moyenne arithmétique de À'; si celte moyenne est égale à pq, le hasard intervient seul; si elle est plus petite qxie pq, il intervient utje cause indépendante du hasard.
PROBABILITE DU CONTINU.
63. Paradoxe de J. Bertrand. — Nous avons élé amenés à considérer un nombre très grand de cas possibles, mais ce norhbre restait fini. A certains moments, nous avons envisagé des questions de limites et remplacé les \^ par des / •
Nous allons arriver aux problèmes où le nombre des cas possibles devient infini.
II faut bien définir ces cas, et le paradoxe de J. Bertrand mettra bien en évidence le genre spécial d'erreurs que ces problèmes peuvent entraîner ; il s'agit de la question suivante :
Quelle est la probabilité pour qu'une corde d'une circonférence donnée soit plus grande que le côté du triangle équilaléral inscrit?
J. Bertrand traite le problème de deux manières, et les résultats sont absolument opposés.
Soit AB la corde; nous prenons le rayon OA comme unité ; '^" ' ■ les coordonnées polaires de A
seront i et o).
Soient a l'angle AOM, OM étant la perpendiculaire abaissée
pnouABii.rrE du continu. iiy
du centre sur la corde, P Je point où celte perpendiculaire rencontre la courbe et M le nDilieu de la corde. L'angle VOx, ou 6, est égal à a ^- o).
64. Premier raisonnement. — Le point A peut se trouver en n'importe quel point de la circonférence. La probabilité pour que co soit compris entre g)o et co, est proportionnelle à
la différence — -• Le point A déterminé, la corde peut
prendre toutes les directions possibles, c'est-à-dire que, A
étant choisi, je puis faire prendre à a toutes les valeurs
... rr
possibles entre o et -•
La probabilité pour que a soit compris entre ao et «, est proportionnelle à a, — «j. Si AB était le côté du triangle équilatéial inscrit, « serait égal à 6o*.
Comme a peut prendre toutes les valeurs de o" à 90°, la probabilité pour que la corde soil plus .grande que le côté
du triangle est
65. Deuxième raisonnement. — La corde peut avoir une direction quelconque. La probabilité pour que 6 soit compris entre do et C, est proportionnelle à 0, — 0^.
Cette direction une fois choisie, je trace OP : la droite AB sera définie quand je connaîtrai le point M, c'est-à-dire la distance OM^=p==cosa.
p peut prendre toutes les valeurs de o à i ; on doit admettre que la probabilité pour qu'il soit compris entre po et pi est proportionnelle à pi — po.
Si OM est compris entre 0 et -» la corde est plus grande
que le côté du triangle.
La probabilité sera donc - • •^ 2
Pourquoi cette contradiction? Nous avons fait des hypothèses différentes dans les deux cas; nous avons défini la probabilité de deux manières difTérentes.
66. D'une manière générale, on demande de définir la probabilité pour qu'un nombre x soit compris entre x^ et Xx : en général, nous pouvons dire que nous n'en savons rien du tout.
Cette probabilité doit dépendre de x^ et de x, : ce sera donc une fonction telle qge P (x^, x^).
Si nous cherchons la probabilité pour que a; soit comprise entre x^ et x,,
en vertu du principe de la probabilité totale, cette probabilité sera
P(^o» Xr) — V{Xç,, x,)-HP(a:,, ^,)- Si
OC^ ;zz OC ^ ~t~ €L3C^ ^
on a
P(jro, x^) — V{x^, Xx) ~ P(a:o, Xx-\-dxx).
Cette probabilité sera infiniment petite, et, en divisant par dxx, elle ne dépendra que de x^.
On aura donc dans tous les cas
<^{x)dx.
Mais nous ignorons /a /la^wrerfe 9 (.r) qui reste arbitraire: il faut nous la donner au début du problème par une convention spéciale pour qu'il ait un sens.
De même, la probabilité pour que le point {x^y) soit
PROBABILITK OU CONTINl'. 121
l'inlérieur d'une ain; donnée est
^{x, y)da:dy,
l'intégrale double étant étendue à tous les éléments de l'aire ; mais nous ne connaissons pas 9(3;, y).
Le mathématicien n'a plus aucune prise sur le choix de celle hypothèse; mais il doit, une fois qu'elle est choisie, porter son attention à ne pas en faire une autre qui la contredise.
67. On peut avoir plusieurs paramètres x^^x,,..., Xp. L'intégrale d'ordre /?,
/ 9(x,, Xi, . . ., Xp)dxi àsct • • • dxp,
définira alors la probabilité pour que les paramètres x satisfassent à certaines conditions, quand la fonction 9 e^, définie ; il n'y aura qu'à étendre l'intégration à toutes les valeurs de x qui satisfont aux conditions données. Mais celte définition n'aura de sens que quand on se sera donné la fonction 9 par une convention préalable.
Je suppose qu'on change de variables et qu'on prenne j,, jî, . . . , yp ; l'intégrale va se transformer en
Ô{x^, jTj, . . ., X p) , , j
à l'aide du jacobien ou déterminant fonctionnel des x par rapport aux y.
Cette nouvelle intégrale multiple est entièrement déterminée ; on étendra l'intégration aux limites des y qui correspondent à celles des x, et qui sont connues, puisqu'on connaît les relations qui lient les a: et lés y.
