Autre exemple. — Soil une droite AB, dans un plan
ses coordonncos tant;entielles sont - et — • tludions ia
probabilité pour que cette droite ait une certaine position. La probabilité pour que a et 6 prennent toutes les valeurs comprises entre certaines limites peut être, par une première convention, représentée par
dadb.
où Z> = rt tango), si o) est l'angle de AB avec Ox.
On peut aussi dire : w peut prendre toutes les valeurs possibles; d'où pour la probabilité
doi c/u.
Ce n'est pas la même chose, et cette seconde convention, qui, après un examen superficiel, pourrait sembler aussi légitime que la première, est en contradiction avec elle; en effet, le déterminant Tonctionnel est
COS'CJ
et
f fda db = f f-Ar- da duu
70. Problème du bâton brisé. — On partage un bâton, de longueur i, en trois parties x,y, z.
Nous admettrons que ia probabilité pour que x soit compris entre or etx-i-rfjrest, par définiiion, proportionnelle à dx\ entre x^ et x,, elle sera proportionnelle à x, — Xq.
De même la probabilité pour que y soit compris entre yo et/, sera, par définition, proportionnelle à y^ — yt>.
La probabilité pour que x et y satisfassent à certaines conditions est alors l'intégrale
^jd^dy
étendue à toutes les valeurs de j; et de j qui satisfont à ces conditions.
On pourrait supposer également que cette probabilité est
jjdydz.
ou bien
dz dx.
ff
puisqu'on peut prendre x et z, ou bien j et z, comme variables.
Ces trois définitions sont ici équivalentes; on a
et le déterminant fonctionnel est bien égal à r , puisque z = i — x — y.
71. Quelle est la probabilité pour que x, y et z forment un triangle?
Traçons un triangle équilatéral dont la hauteur soit i :
probabilité: du continu.
ia5
Fig. 6.
d'un point M, inlérieui- à ce triangle, abaissons des perpendiculaires sur les trois côtés. La somme des trois longueurs ainsi obtenues sera égale à la hauteur du triangle, c'est-à-dire à i ; elles réprésenteront les trois morceaux, x, /, z, du bàloi).
Le point M peut ôlre considéré comme représentant le mode de divi- b^ sion (lu bâton : quelle est la probe- '^'
bilité pour que ce point soit à l'intérieur d'une certaine aire?
La probabilité pour que a: soit comprise entre x e!L a- -i- dx , et pour que y soit comprise entre y el y -\- dy, est propor-
-^ lionnelle à dxdy. Le point M sera alors
\ \ dans une aire comprise entre deux parai-'
lèles à BG menées à des distances x et X -ir dx de BC, et deux parallèles à AC menées à des distances y el y^dy de AC. Le parallélogramme ainsi formé a pour angles 120° et 60°, et son aire est
dx dy sin 60"
La probabilité sera, dans ce cas, proportionnelle à l'aire du parallélogramme; et, en général, elle sera proportionnelle à l'aire envisagée.
Le point M devant être à l'intérieur du triangle ABC, la probabilité pour qu'il soit à l'intérieur d'une certaine aire est le rapport de cette aire à la surface du triangle.
Joignons par des droites les milieux A' B' C des côtés du triangle. M doit être à l'intérieur de A'B'C pour qu'on
puisse former un triangle avec r, y, z ; si le point M est sur l'un des côtés de A'B'C, l'une des équations suivantes est satisfaite,
si le point M est en dehors de A'B'C, l'une des trois grandeurs X, y, z est plus grande que la somme des deuK autres. La probabilité pour que l'on puisse former un triangle
avec X, y, z est donc y
72. Problème de l'aiguille. — Sur une feuille de papier, sont tracées un certain nombre de droitesparallèles et équidistantes; leur dislance commune est d, et l'on jette au hasard sur la feuille une aiguille également de longueur d.
Quelle est la probabilité pour que cette aiguille rencontre l'une des droites?
La question peut se poser d'une manière plus générale.
Fig. 8.
Soient deux axes fixes ox, oy, et une figure i\\ç F invariablement liée à ces axes.
Soient d'autre part deux axes mobiles OX, OY, et une
PROBABILITK OU CONliNII. I37
figure F, invariable de forme, mais invariablemeni liée à ces axes, cl par conséquent mobile avec eux.
Définissons la position de la figure mobile par rapport aux axes fixes.
Soient M un de ses points, MP une droite passant par M et invariablement liée à la figure F, : il suffit de définir la position de MP par rapport h xoy. Cette position est définie par
Fig. g
les coordonnées x, y du point M et l'angle w de MP avec ox. La probabilité pour que M satisfasse à certaines conditions est proportionnelle à
dx dy drj)
Pour justifier cette définition, je vais montrer qu'elle est la même quand je prends un autre point M' de la figure mobile, ainsi qu'une autre droite M'P'.
La droite MP' sera invariablement liée à MP.
Soient / la longueur MM', a l'angie de MM' avec MP et ^ l'angle de M'P' avec MP : /, a, j3 sont des constantes.
La droite M'P' est définie relativement aux axes xo/. par
les coordonnées x', y' du point M' et l'angle 0/ de M'F' avec ox.
Si la probabilité pour que la figure mobile satisfasse à certaines conditions est, d'après la première évaluation.
elle sera aussi
fil dx dy ddi, f Ç Çdx'dy'di^'.
Le déterminant fonctionnel est en effet égal à l'unité; on a, par projections,
x'z=^ X + l cos ( 0) -h a ), y zzz y -^ l sin ( 0) -f- a ) ,
. <^(*', v',w') et le déterminant fonctionnel —r, — — est
I G — / sin (o) -+- a) o I /cos(co -\- a)
c'est-à-dire i.
La loi de probabilité est donc la même, quelle que soit la droite MP choisie.
73. Si je considère deux figures tp, <p', égales entre elles et invariablement liées aux axes mobiles, la probabilité pour que <tf' satisfasse à certaines conditions est égale à la probabilité pour que <p satisfasse aux mêmes conditions. Considérons une droite MP invariablement liée à (p et une autre droite M'P' dont la position par rapport à 9' est la même que celle de MP par rapport à 9 ; soient x, y, w, d'une part
PROBAFILITÉ DU CONTINU. 129
«', y\ w', d'autre pari, les quantités qui déflnissent la position de ces deux droites.
La position de (p est définie par a;, ^ et w ; celle de 9', par a:\ y', w'. Pour que » salisfasse à certaines conditions, a?, j,w devront satisfaire à certaines inégalités.
Pour que 9' salisfasse aux mêmes conditions, x\ y', w' devront -satisfaire aux mêmes inégalités. A la différence près des notations, on retombe donc sur la même intégrale.
La valeur de la probabilité est donc la même dans les deux cas.
74. On demande la probabilité pour qu'un segment de droite limitée» MP, rencontre les parallèles du problème de l'aiguille. Si une seconde droite, M'P', de même longueur, est invariablement liée à MP, la probabilité pour qu'elle rencontre les parallèles sera la même.
Si, au lieji deMP, on considère une droite deux fois plus longue, MQ, la probabilité sera doublée, puisqu'elle se compose de deux droites égales à MP, à savoir MN et NQ, N étant le milieu de MQ.
Je suppose qu'on promette à un joueur autant de francs qu'il y aura de points d'intersection de la droite avec les parallèles (*). L'espérance mathématique du joueur avec MQ sera double de son espérance avec MN, puisqu'elle sera celle qu'il tire de MN augmentée de celle qu'il tire de NQ. En général, elle sera proportionnelle à la longueur de la droite.
(') Bien entendu, si lune des extrémités de MN tondbe sur une des parallèles, cela comptera polir une derai-iotersection. P.
I;Î0 chapitre VII. — PROBABILITÉ DU CONTINU.
Si NQ n'est pas dans le prolongement de MN, l'espérance mathématique est encore doublée. L'espérance mathématique est donc proportionnelle à la longueur totale de la ligne, qu'elle soit droite ou brisée, ou même, en allant plus loiin, quelle que Knit sa forme.
Si l'on promet autant de francs que de points d'intersection de la courbe avec les parallèles, l'espérance mathématique sera ainsi proportionnelle à la longueur de la courbe.
Si la courbe est une circonférence de diamètre d, sa longueur sera -nd-y dans ce cas, il y aura toujours deux points d'intersection, l'espérance mathématique sera donc 2. Pour
une courbe de longueurs, cette espérance sera — %; pour une droite de longueur d, ce sera -•
75. Revenons sur le paradoxe de J. liertrand relatif à la probabilité pour quune corde d'une circonférence soit plus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit.
Traçons une circonférence C, concentrique à la première C et dont le rayon soit la moitié du sien. Plaçons an hasard une droite dans le plan. Si nous adoptons la convention faite tout à l'heure au sujet de l'aiguille, la probabiJité dépendra-l-elle d'une nouvelle et troisième hypothèse, ou bien de l'une des deux précédemment examinées?
Je puis supposer la droite fixe et les circonférencesmobiles. La probabilité pour que l'une des circonférences coupe la droite est proportionnelle à sa longueur; la |)robabilité pour que C rencontre la droite est donc le rapport des longueurs
des deux circonférences, c'est-à-drre -• On retombe ainsi
sur l'une des hypothèses de J. Bertrand.
APPLICATIONS DI\T:RSES.
76. Prenons encore un problènne analogue au problème de l'aiguille :
Sur une sphère S on trace une figure mobile ; quelle est la probabilité pour que cette figure satisfasse à certaines conditions ?
Comment définir d'abord la position de cette figure ?
Soit Po la position initiale, P, la position finale de U figure mobile : on passe de l'une à l'autre par une rotation convenable, définie par l'axe de rotation et l'angle de rotation.
Soient a, (3, y les cosinus directeurs de l'axe, et 2 ô l'angle
de rotation ; posons
X — COS0, /uL = asin61, v = (3sin6, p = ysin9,
et prenons X, /ji. v, p comme variables. Elles sont liées par une relation
}.*-+- |JL*-(- V*-|- p^= I.
Je retrouve la même relation, si je change les signes de y| , /jt, V, p, et il suffit de connaître trois de ces quantités.
Je suppose la probabilité représentée par une intégrale
triple
■ dii dv dp
elle sera représentée aussi par
'dXdvdp
Cherchons en effei le déterminant fonclionnel des nouvelles variables A, v, p par rapport aux anciennes fz, v, p, et supposons X défini en fonctions de fi, v, p.
"kdl^ — IX dy. — y f/v — pdp.
Le déterminant fonctionnel est
Ainsi, au signe près, par le changemeni de variables, l'élément de l'une des intégrales triples devient l'élément
de l'autre intégrale, après multiplication par-- Donc
r±^ ei f
dldvdp
donnent donc bien la même définition pour la probabilité. Voici comment se Justifie cette convention: considérons la sphère
Supposons que la probabilité pour qu'un point quelconque de la sphère se trouve à l'inlérieur d'une certaine aire
APPLICATIONS OIVKKSES. |33
sphérique soit proportionnelle à cette aire. Cette aire s'exprimera par l'intégrale
dxdy __ rdxdy
J COS/li
ces ni, étant le troisième cosinus directeur de la normale à la sphère au point considéré.
Nous avons fait ici une hypothèse tout à fait analogue, car
serait l'équation d'une sphère dans l'espace à quatre dimensions.
77. Je suis parti précédemment de la position initiale Po. La rotation >,,fx, v, p ne dépend pas seulement de Pj, elle dépend aussi du choix de la position initiale Po.
Je vais démontrer que la probabilité reste la même, si, au lieu de la position initiale P», on en considère une autre P'^.
La rotation de P; à Pj sera définie par V, ^', v', p', et la probabilité sera définie par
dfx'dv'dp'
Je dis qu'ellesera proportionnelle à la précédente.
/, m, «, r définissant la rotation de P; à Po, la rotation ^', f*'. »', p' sera la résnltanle de deux autres. Les formules connues de la composition des rotations sont
X'=X/ — jjL/n — v/i — p/-, p' = X/nH-|ui/ — vr -+-p/i, v'=>/i-i-^/- -4-v/ — pm, p'=Xr. — pn -t-v/n-Hp/.
l34 CHAPITRE VIII.
11 s'agit maintenant de calculer le déterminant fonctionne
de /', II', y', p' par rapport à >, //. v, p. Je pose
cr = V'X* -h fz* -H V» H- p*.
Ici a=i, mais je puis supposer à À, /jl, v, p des valeurs quelconques au lieu des valeurs véritables. J)e même
a'=\/X'*-)-;x'»+v'--(-p'^ Quelles que soient ces valeurs, on a
a' = 0- \//' H- m« -f- /i* + /-S et si /, m, n, r ont les valeurs constantes données,
Il s'agit de calculer
â{ix',v',p') àiiJ-, V, p)
en supposant a = j, c'est-à-dire
dyi' djj.' d\t.'
d[t. dv âp
âv' dv' dv'
dix dv dp
࣠dp^ d£
dfi dv dp
Mais je vais porter le nombre des variables à 4, et considérer, d'une part a, {x, v, p, d'autre part a', ix', v', p'. Comme
APPLICAirONS UIVEH8ES. l'i5
a' =i(j, les dérivées parlielles de <j seront i, <*, o, o
O^j.' âfx' àiJ.' d[i.'
àa d[i. d'J àp
dv' dv^ â^ &j[
àa dix âv dp
àp^ ࣠âp^ 0£
d<T d[i ai ôp
C'est bien le même déterminant fonctionnel ; on peut donc déjà écrire
d([x'r)\p') d{a'.iJ.',v\p)
di7,fx',v',p') à(l\[x.',V,p') d(l,iJ.,v,p)
~ <;(X',fx',v',p') (^'^/., /JL, V, p) (?(<7, fl, V, p)
Évaluons successivement les trois derniers déterminants fonctionnels. Le premier est
âc' àa' do' de'
OV d[i-' ^v' dp'
Le second est
da^
Le troisième est
d(X jix.v, p)
d{>7,ix,v,p) dio, M, y- p)
i36 CHAPITRE VIII.
Le produit des trois est donc y» et l'intégrale
'f/fz' (h' dp' se transforme en
' rf;x dv dp V
ou
'dfxdvdp
La définition de la probabilité reste donc la même, quelle que soit la position initiale.
78. On demande la probabilité pour que cette figure P, satisfasse à certaines conditions.
Si on considère une autre figure P^, égale à la première et invariablement liée à celle-ci, on peut demander aussi la probabilité pour que cette seconde figure satisfasse à certaines conditions. Soient aloi's X, y-, v, p les paramètres de la rotation qui amène Po en P,, et >/, p', v', p' ceux de la rotation qui amène P', en P,.
La probabilité pour que Po, venu en P,, satisfasse à certaines conditions, est représentée par
dfj. dv dp
les paramètres X, /m, v, p devant satisfaire à certaines inégalités.
La probabilité pour que Po venu en P, satisfasse aux mêmes conditions est représentée par
dji' dv' dp'
APPLICATIONS DIVERSES. l37
les paramètres X', /jt', v', p' devant satisraire aux mêmes inégalités. Les intégrales, ne différant que par les notations, sont identiques, et la probabilité resle la même.
Les probabilités pour que deux flgures mobiles, égales, et invariablement liées l'une à l'autre, satisrassenl à une même condition, sont donc égales entre elles.
