PROBABILITÉS DES CAUSES
On intégrera cet élément de o à i, d'où
Si l'on remplace <f{p) par sa valeur, il vient
C'est encore une intégrale eulérienne, et l'on arrive à
(n -h m-hi)\ (n -¥-i)\ m] ni m\ {n -h m -i- 2)1
Si j'avais appliqué le même raisonnement à un jeu de hasard, je n'aurais pas eu le droit de supposer/ (/>) =zi. A
priori^ en effet, p devait égaler -• Donc/ {p) devait être infini pouryp= -•
103. Représentons par N le nombre total d^s petites planètes; parmi elles, un ceitain nombre M sont connues. Dans une année, on en observe n parmi lesquelles m planètes connues.
On demande la valeur probable de N.
La valeur de N ne peut différer beaucoup de — > mais
cette cvalualion au jugé ne suffit pas : il faat s'occuper de l'écart probable entre le nombre véritable et le nombre probable.
Voici comment nous procéderons :
En premier lieu, nous supposerons connue la probabililé pour que, pendant l'année d'observation, une planète existante ait été obseivée; soit /y cette probabilité : nous admettrons qu'elle est la même pour les planètes connues et inconnues.
Comme nous avons observé /i planètes, la valeur probable
de N semble, au premier abord, devoir être égale à — ; mais
il n'est pas possible que cette valeur soit tout à fait exacte : les nombres i, 2, ..., N ont des probabilités propres que j'appelle Wi, ^2, ..., njiy, et la valeur probable de N sera :
m, ■+- 2 CTî -H . . . 4- N dM .
Si l'on suppose /> donné, et tous les nombres 1, 2, ..., N également probables, on arrivera, comme nous le montrerons, à t)our la valeur probable de N.
Ce premier point résolu, nous nous poserons un autre problème; nous avons supposé /> connu, nous ne le supposerons plus, et nous déterminerons ensuite la valeur probable de N en fonction de m. et M, ce qui nous donnera
un résultat très voisin de — > comme nous 1 avons prévu
plu$ haut.
404. J'appelle donc gjn la probabililé a /?/7or£ pour qu'il y ait N planètes; />« la probabilité pour que, s'il y a ainsi N planètes, on en observe n dans l'année.
La probabilité a posteriori pour qu'il y ait en tout N planètes est une probabilité de cause; elle s'exprime par
PROBABILITÉS DhS CAISES. l65
Comme première hypothèse sur l«is nr, supposons-les ro.is égaux; la formule précédente se réduit à
Pour calculer ps, appliquons le théorème dos épreuves répétées. La probabiliié que, sur N planètes, on en obs^^rvera n dans l'année est
p étant la probabilité pour qu'une planète, si elle existe, soit observée; q la probabilité pour qu'elle ne le soit pas.
n est une valeur constante : c'est la plus petite que puisse prendre N. Faisons croître N indéfiniment,
2/)j, p" -r- — — p'^q-^ IL > pn^'.^
Si j 'i ntroduis maintenant la relation p=zi — q
Avec l'hypothèse faite sur les çj, la probabilité pour qu'il y ait N planètes estdonc/)yON.
