La valeur probable de N est

n est un peu plus simple de calculer la valeur probable de N - /i. soit

l66 CHAPITRE IX.

Posons

/i!(N-/»)r alors

Pour évaluer le second membre il suffit de différenlier F(/7, ^)par rapport à 9, et de multiplier le résultat par 9,

faisons après cette différentiation i — Ç =-?' II reste

(n-hi)q

En vertu d'une précédente démonstration, cette expression est égale à IKp'* ( N — n) q^*-". Comme d'autre part

^py = y

la valeur probable de N — « est

Par suite, la valeur probable de N est

Cette quantité diffère très peu de -> comme il était prévu.

En effet

PROBABILITÉS DBd CAU8R8. 167

106. Considérons maintenant la valeur de p comme inconnue; je supposerai qu'on veuille connaître qjielle est la probabilité pour que p soit compris entre p ei p + dp.

Ici, la probabilité a priori^ xssi, pour qu'il en soit ainsi, sera

o\i/{p) est une fonction inconnue de p.

Pi sera la probabilité pour que, si ^ a une valeur déterminée, l'événement observé se produise, c'est-à-dire pour que, sur M planètes, on en observe m.

^'~ /nI(M-m)!^'"^~"*'

Toutes les valeurs possibles de p sont comprises entre o et I. On a donc

Quel est le nombre probable pour N? Nous multiplierons

le numérateur par ^ > et nous intégrerons de o à i . Cette

valeur probable N est égale à

r'p>n^U-^l±lf(^p)dp

/ p'''q^-'"'/ip)dp Ce résultat dépend de/{p); supposons cette fonction égale

i68 CHAPITRE IX. — PROBABILITÉS DES CAUSES.

a 1, et remplaçons aussi par i.

I pmgM-m ^p — / p'"-q^-'" dp

/ pm ^M-m Jp

{n -t- () / p'"'^q^-"^dp

/ p'"q^ -'"dp

Posons

N = (rt-f-i)J -I.

J est le rapport de deux intégrales qui sont encore des intégrales eulériennes.

~ r(m + i)r(M — m-f-i) ~ r(M -+-i^r(m-hi)' r(M-+-2)

m et par conséquent

Cette valeur est très voisine de — > ainsi que nous I avons

annoncé.