LA THEORIE DES ERREURS ET LA MOYENNE ARITHMETIQUE
La valeur probable de z est
/ -2i'(^)9(a?,,s)(p(Xj, z). . .<p(j;„, 3)rfz
/ ^1^(2) (p(x,,s) <p(x,, 5) ... 9(x„,s) rfc
(Les deux quantités sous le signe / ne diffèrent que par le facteur z qui figure en haut.
Il faut choisir 4^ et qp de façon que cette valeur probable soit la valeur moyenne
114. Pour cela, je suppose que p observations aient donné le résultat x, ; p autres, le résultat x^\ ... ; enfin, les^ dernières, le résultat :c„. C'est un même nombre /?, et je le suppose très grand.
Les deux intégrales porteront sur p facteurs égaux à 9(j?,% z), sur/? facteurs égaux à 9(0?,, a), .. ., sur/? facteurs égaux à <p(ir„, z).
Je pose
Il s'agit de vérifier que
z^f\z)^P dz
X^-\- X^-^r . . .-A- Xn
'if{z)^P dz
Cette égalité devra avoir lieu quelque grand que soit/>. p. la
Si, au lieu de deux / , nous avions le rapport de deux / > nous aurions à considérer le rapport
a,X^-Hg,X^ + ....-h<7„XP 6,X?-f-6,XÇ-h...+ 6„X^'
où les X,, X,, . . . , X„ seraient fonctions des x,, a:,, . . . , x„ et les «1, a,, . . ., a„, 61, bi, . . ., b„ des fonctions de z.
Je suppose positives toutes les quantités X. Quelle est la limite de ce rapport quand/? croît indéfiniment? Soit X/ la
plus grande des quantités X : la limite sera y--
En effet, ce rapport peut s'écrire
iH^r
Toutes les fractions ^sont plus petites que i, sauf une
seule, celle qui correspond à k = i.Donc, quand/? augmente indéfiniment, le rapport considéré a bien pour limite -p- Etendons ce résultat aux intégrales
l(pi{z)*pPdz et j Oi{z)<S>f'ciz;
9,(3) joue le même rôle que a,, et <fî{z) que />,. Quelle est la limite du rapport de ces intégrales? Soil Zq la quantité qui rend <P maximum. Cette limite sera
c'est-à-dire ici
LA THEORIE DES ERREURS ET LA MOYBPfNB ARITHMÉTIQUE. 1 79
Cette quantité t, doit être la moyenne arithmétique.
145. Nous revenons à la même question que précédemment : * doit être maximum quand z est la moyenne arithmétique. Nous connaissons la condition pour qu'il en soit ainsi; c'est
<p(j?,,3)=r 9(ar,)eA'.'-^B,
les dérivées A' et B' des fonctions de z, A et B, étant liées par
A'2-hB' = o.
Oc.and on suppose que 9 dépend seulement de la différence z — :r,, sa dérivée logarithmique par rapport à z,
doit être du premier degré en z — a:, ; alors
A' et 0(j:,) sont constants.
Dans le cas général, c'est-à-dire quand on ne suppose pas que 9 dépend seulement de z — x^, il reste pour ©(a:,, z) trois fonctions arbitraires à déterminer : d'abord ^i^), que l'analyse actuelle ne permet plus de déclarer constant comme dans fe calcul de la valeur la plus probable; puis e{x,); puis A. Quant à B, il est lié à A par une relation.
116. Il s'agit de déterminer un peu plus complètement ces fonctions arbitraires.
Je vais supposer p observations donnant pour résultat or, : la moyenne arithmétique sera j;, ; alors
a> = 0(a:i)cAx.+B
ifto CHAPITRB X.
et Ton doit avoir
j zi\i{z)9Pdjs = a:i f^{z)^Pdz;
d'où
(s — ar, )(]/(«) e''<A''^'"rf2 = o.
Cette relation doit être satisfaite quels que soient/? et x,. Bp a pu sortir du signe / puisqu'il ne contient pas z, et nous ne pourrons le déterminer par celte condition.
