Cherchons ^{z

A^i -h B est une fonction de z qui atteint son maximum pour z = a:, ; soit «J ce maximum. Je puis donc poser

A,r,-4-B = ul — M*;

u sera réel.

De même

(s — X,) <if{z)dz

est une intégrale qui est toujours positive et ne s'ann\jle que pour s = a'i ; je puis donc la poser égale à f ', d'où

A.r,+ B = «J — «S {z — x^)<i^{z) dz = 2vdi\

Pour achever de définir a et v il faut s'en donner le signe, car nous avons seulement défini i/* et f-*. Nous conviendrons de donner à « et à t» le signe -»- si x est plus grand que x, et le signe — dans le cas contraire; u et v sont donc toujours de même signe.

D'ailleurs

LA THÊORIB DES ERREURS KT l.< MOYRNNK ARITHMKTIQUR. l8l

L'intégrale examinée devient, en faisant sortir une constante,

Je puis supposer v exprimé en fonction de u,

IV dv = /(a) du,

I /{u)e-P"'du

et alors

doit être nulle, quel que soit p, lorsque les limites sont

— 00 et -H 00.

118. Cela ne peut arriver que si /(«) est une fonction impaire. En changeant u en — u, on aurait

d'où

Çf{-u)e-P'^'du =0, J[f{u)-^f{-u)-]e-P-^du^

Cette relation doit être vraie quelque grand que soit/?. Si /(a) est impaire

Si /(a) n'est pas impaire, je développe suivant les puissances croissantes de u. L'intégrale ne pourra être égalée à zéro quel que soit p.

En effet.

Je vais poser

iSa CUkMTHE X.

l'intégrale va devenir

et elle doit être ideniiquemenl nulle..

t Si nous multiplions par/> Hous les termes, le premier

ne contiendra plus />,«et les autres le contiendront encore;

l'intégrale, au facteur près p ', se réduira sensiblement pour p très grand à

qui n'est pas nulle.

Donc/(«) doit être fonction impaire de u.