On a posé

Différentions, en considérant or, comme constant, l'autre équation en u,

Aa?tH-B = «|— m'; il vient

dz{A'xi-{-B')=:—2udu;

or, en tenant compte de la relation

A.'z-hB'=o,

Donc

A(s — ari)rfz = ai/ du,

(Tou

iiil^Zlii).

A' au

LA THÉOaiB DES ERREURS ET LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE. l8i

' est une fonction paire, donc ^ ne doit pas changer quand on change a en — u.

Or ■ , n'est pas une fonction de u, mais une fonction

de z indépendante de x, : je dis qu'elle doit se réduire à une constante.

En effet, je considère deux valeurs quelconques de z, •I et 3i, pour lesquelles A et B prennent respectivement les valeurs A, et B,, Aj et B,; je vais choisir ar, de façon que

A,ar, -f- B,:= AjX, -I- B2;

mJ — «' reprendra alors la même valeur pour «, et z,.

Donc"^ qui n'est fonction que de u' reprendra aussi la

même valeur et l'on aura

d,(z) Donc ^ est constant.

120. Ainsi la manière la plus générale de satisfaire au postulat de Gauss (modifié conformément à l'objection de J, Bertrand, à savoir que la moyenne est la valeur probable) se traduit par