Ce résultat a été obtenu dans l'hypothèse

une question se pose : la loi de Gauss est-elle la seule pour laquelle ce résultat se produit? C'est la seule. Cherchons la valeur probable de

f>— '«(ro-r)' Par définition c'est

On peut calculer directement cette intégrale; on peut aussi développer e-"<r.-r»' en série convergente pour toutes les valeurs de y.

D'où

De même, avec une autre fonction 9 que celle de Gauss,

Par hypothèse, les valeurs moyennes de y'^P seraient les mêmes dans les deux cas. Le rapport des deux intégrales serait donc i.

Comme ce rapport reste le même quel que soit n, servonsnous d'un théorème précédemment démontré.

La limite du rapport

fx{y)9"^y^dy

/2tr)9"iy)dy

quand n croîtra indéfiniment, sera

Aiy,) MyoV

si, dans les limites de l'intégration, ?(/) atteint son maximum pour j ==7o.

Ici e~"'J''"J'«>' atteint son maximum pour y =^ yo; la limite du rapport des deux intégrales est

Comme ce rapport reste toujours égal à i

9(ro) = i/^e-^^'.-

jo étant tout à fait quelconque, c'est dire que la loi de Gauss est la seule qui donne â y^p la valeur probable que nous avons vue.

135. Supposons que la loi des erreurs soit quelconque. On a fait n observations, ayant donné n erreurs indivi-

JUSTIFICATION OE LA LOI DK GAU88. igS

duelles 7,, ^j, . . ., y^. Prenons la moyenne des observalions : nous commeiirons une erreur, qui sera la moyenne des erreurs individuelles,

Gauss s'esi proposé de calculer la valeur probable du carré de celte erreur; c'est par définition

Je développe ce carré

La valeur probable cherchée sera

La valeur probable du produit 7,72 eslT^xJ^; comme les fonctions 7, et y^ sont impaires, 7I et j^ seront nulles. Il reste donc

L'intégrale se ramène à une somme de «intégrales; mais chacune d'elles porte sur la môme fonction

multipliée par y-dy^, ou ylciy,, . . ., ou yldy^. C'estdonc la même intégrale aux notations près.

Donc la valeur probable du carré de l'erreur est

Ainsi lu valeur probable du carré de l'erreur commise est le carré de la valeur probable d'une erreur individuelle divisé par n.

Cette propriété suffit pour justifier l'emploi des moyennes; elle a lieu quelle que soit la loi des erreurs.

Toutefois, comme nous l'avons vu au Chapitre précédent, la loi de Gauss est la seule pour laquelle la moyenne soit la valeur la plus probable.

Avec toute autre loi, la moyenne deviendra de plus en plus probable quand les observations deviendront de plus en plus nombreuses, mais elle ne sera pas la valeur la plus probable.

136 Cherchons la valeur probable de

c'est une fonction impaire que nous élevons à une puissance impaire : la valeur probable doit être nulle. Cherchons la valeur probable de

Par une formule, généralisation de celle du binôme,

(y-^y--- ■+y-r'=l ,., lX".o.,i-'-"'--^- ■ •^^'

où

ai -h a, -H . . . -f- «^1= 2jD.

11 faut prendre la valeur moyenne de chaque terme et la diviser par n^P.

La valeur moyenne de certains termes sera zéro, si l'un des exposants a est impair. Tous les exposants doivent être pairs pour que cette valeur soit différente de zéro.