Traitons comme exemple
Les a ne peuvent être pairs que si : i" a, =4, et les autres nuls; ou a» a, = «, = 2, ce qui conduit à
R est l'ensemble des termes dont la valeur moyenne est
nulle; le coefficient de ly] yl est -±- = 6.
Traitons encore
iyi-^y2-h...-hy„y.
Les a ne peuvent être pairs que si : •">a,=:6; ou 2° x, = 4, a,= 2; ou S" a, = a, = «3=3 2.
R étant l'ensemble des termes dont la valeur moyenne est nulle, on a
Le coeffîcienl de ly\yl est^^-iS; le coefficient de
Je m'en vais convenir de désigner la valeur moyenne àey^ par M^. D'abord la valeur moyenne de
sera
{yi'^yt-i-'---^yn)'==^nM,^6"^''~'^Ml
En effet, dans ly\ tous les termes ont la même valeur moyenne, et il y en a n; dans ly] y\, tous les termes ont la même valeur moyenne et H y en a "^" ~ '/.
igS CHAPITRE XI.
La valeur moyenne de (y,H-/2-i- . . . -t-jn)* sera
Dans i/î jî, il y a autant de termes que d'arrangements de n lettres 2 à 2; le coefficient de M^M, est donc
138. On pourrait poursuivre avec d'autres valeurs de ^p; les expressions deviendraient de plus en plus compliquées.
Tenons compte de ce que n est très grand; il y a dans le second membre des termes en «, en n^, en n^, etc.
A titre d'approximation, ne considérons que les termes du degré le plus élevé en n. Pour 2/? = 4> ce terme est S/i^M'; pour 2/? = 6, ce terme est i5n^Mj.
Ainsi l'erreur moyenne
rt-t-r2-+-- ••+/'.
a comme valeur probable de sa quatrième puissance
et de sa sixième puissance
Calculons cette valeur probable en général,
Dans le second 1 on ne permute que les indices des y.
JUSTIFICATION DE l-A 1.01 DK GAUSS. 199
Ne conservons que les termes où loiis les a sont paiis; les autres ont une valeur probable nulle. Il vient
(/, + ,, + . .. + r.)''' - 2 »,|l.T"c,l •^M., M.. ■ ■ ■ M... Tous les termes sous le second 2,
ont, en effet, la même valeur probable. Soit N leur nombre ; évaluons N.
139. Je suppose d'aboid u,— «j. Si nous permutons yi et jî, nous retrouvons le même terme. Si nous tenions compte de l'ordre, nous aurions autant de termes que d'arrangements 3 à 2 de fi lettres choisies dans les n lettres 7,, /2. •••> 7«; nous pourrions avoir ainsi des termes répétés.
Si les fjL exposants étaient diflereiiis, N serait égal au nombre des arrangements de n lettres fi à /jl, c'est-à-dire
Je suppose fi, exposants égaux a a,, fjLj à aj, . . . , f/R à an ; de plus, je suppose a,, «i, . . ., «k différents, et
/Jl, -f Pî H- . . . 4- f^K = F-
Je considère l'un des arrangements formés avec ces exposants; j'y permute d'une manière quelconque les [i-i lettres
dont l'exposant esta,, les fzj lettres dont l'exposant esta,
les fXK lettres dont l'exposant est a^,. Je ne change pas le terme correspondant; par conséquent, ce même terme serait reproduit par
arrangements.
^ njn — ï).. An — /x->-i)
Ainsi N est un polynôme du degré fx en n.
La plus grande valeur que puisse prendre /x est/>.
En effet
Les a étant tous pairs, la plus grande valeur de /x correspondra à
Il n'y aura donc qu'un seul terme de degré /», par rapport à n, dans N; avec notre ordre d'approximation, c'est le seul que nous devons conserver. Réduit à ce terme, N a la valeur
suivante :
^ n{n — \)..An—p-h\)
En effet, tous les a étant égaux, il en résulte que les lettres
/jL,, /ji,, . . ., fjLK se réduisent
Dans N, le terme en n'' est
nP
140. D'autre part, a,, a,, . . ., 5:|x étant égaux à 2, Ma,= M«,= . . . = Mb.^= M2,
JUSTIFICATION DE LA LOI DK CADSfi. aoi
OU M, est la valeur probable du carré d'une erreur individuelle, 5^.
La valeur probable de (/,M-/,^-...-f- /„)»'• est donc
La valeur probable de/»'' s'en déduil en divisant par n^p
•^ ~ plipy n ) '
Comparons avec le résultat donne par la loi de Gauss; on doit avoir
ou
aM,
La loi de Gauss est la seule qui conduise à celle expression pour la valeur probable de l'erreur.
Pourvu qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques, et qu'on fasse un grand nombre d'observations, en prenant leur moyenne, on commet donc, avec celte moyenne, une erreur dont la probabilité est conforme à la loi de Gauss.
L'erreur commise avec un instrument est la résultante d'un très grand nombre de petites erreurs indépendantes les unes des autres, et telles que chacune d'elles n'entre que pour une faible part dans le résultat; l'erreur résultante suivra la loi de Gauss.
I4l. Posons le problème d'une autre manière.
On a commis dans les observations un certain nombre d'erreurs individuelles, jt, /j, ..., /„, indépendantes les unes des autres; l'erreur totale est
Supposons d'abord que toutes ces erreurs suivent la même loi, et qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques. Le problème est le môme.
La valeur probable de/*^-^' sera nulle.
Nous avons évalué au paragraphe 136 la valeur probable de
Ici nous avons à chercher la valeur probable de
La probabilité pour que v, soit comprise entre deux limites données a et (3,
est la même par hypothèse pour yi, Jî, . • -, yn-
Il nous suffit de multiplier le résultat obtenu pour la valeur probable de
c'est-à-dire
p\ \2n) ' par n*'', pour obtenir la vaJeur probable de y^P,
et, en posant nMj = M,
~,(a/>)l/MV pi \2
Ainsi la forme de cette expression reste la même, et.
JUSTIFICATION DE LA LOI DE 6AU8S. 2o3
en raisonnant comme précédemment, on conclurait que la probabilité pour que l'erreur totale 7 soit comprise entre deux limites données reste conforme à la loi de Gauss.
142. Ce raisonnement n'est pas encore satisfaisant, parce qu'il est peu vraisemblable que toutes les erreurs individuelles suivent la même loi. Supposons que la loi ne soit pas la môme, mais que toutes les erreurs individuelles soient sensiblement du même ordre de grandeur et que chacune d'elles contribue pour une faible part à l'erreur totale; soient
la probabilité pour que/, soit compris entre a et ^ ;
?i(y2)û(rî
la probabilité pour que y^ soit compris entre a et (3 ;
'^n{yn)dyn
la probabilité pour que y„ soit compris entre a et (3.
Je suppose toujours cp„ Oj, ..., 9„ fonctions paires, autrement dit qu'il n'y a pas d'erreurs systématiques.
Je prends la somme M des valeurs moyennes des carrés des erreurs,
. Si toutes les erreurs particulières suivaient la même loi, on aurait la même valeur M2 pour y\, yl, .., yl, et la somme M serait nMs.
Je me bornerai au calcul correspondant aux premiers exposants.
En supposant que toutes les erreurs suivent la même loi, nous avons trouvé que la valeur moyenne de y^ est M; celle dejS 3 MM celle de 7% iSM^ ....
Refaisons le même calcul en supposant la loi différente pour les différentes erreurs individuelles. J'observe que le produit y"'/» ^ ^onv valeur moyenne la valeur probable de 77» multipliée par la valeur probable de y\. En effet, la valeur probable du produit /^J» sera représentée par
?. (ri ) ?i (ys ) rr .r s ^/i ^ra ;
le produit des valeurs probables de y"^ et de y\ sera représenté par
f9i(yt)yTdy,f9^{y,)y'',dy,.
Le théorème reste donc vrai dans ce cas-ci comme dans le précédent; et si m est impair, la valeur probable sera nulle.
La différence à remarquer, c'est que les valeurs probables de rT»/?, •••»/? "6 sont plus égales entre elles.
Remarquons aussi que les quantités <pu 91, ..., (p„ sont censées du même ordre de grandeur.
