Cherchons la valeur moyenne de y^. On a
y*=ly\-h2lyiy,.
Donc,
y^ = ly\-h2lyiyi;
le dernier terme disparaît; il reste
JUSTIFICATION DK LA LOI DB iiAUB8. 2o5
Pour la valeur moyenne de jS on trouve
en laissant de côté lés termes où figurent des exposants impairs.
Le second terme sera beaucoup plus grand que le premier :
le premier 1 est un ensemble de n termes, le second 1 un
., . /j(/i — I) ensemble de termes; ces nombres de termes sont
respectivement de l'ordre de n et de l'ordre de /i'; le premier est négligeable devant le second. Les différents termes des deux 2 sont d'ailleurs, par hypothèse, très petits et sensiblement du même ordre de grandeur. On a, d'autre part, __
ou
Le premier terme est encore négligeable devant le second, ei celui-ci est identique dans les deux expressions. Donc, avec l'approximation adoptée.
Pour la valeur moyenne de /*, on a
Calculons d'autre part i5M%
iSM^rr i52(Jf >-^ 452(5Ï> Jf H- 9023T3Ï5Î'
Comparons les deux seconds membres. Le premier 2 porte sur n termes, le seconde sur /i(/i — i), le troisièmes
sur ■'^ „ : ces nombres de termes sont de l'ordre
de grandeur de n, de n*, de /i», et les deux premiers 1 sont
ao6 CHAPITRE XI.
négligeables vis-à-vis du troisième. Comme le terme qui n'est pas négligeable est le même, on a
144. En résumé, supposons que l'erreur finale soit la résultante d'un très grand nombre d'erreurs partielles, indépendantes les unes des autres, et qu'il n'y ait pas d'erreurs systématiques; supposons aussi que ces erreurs, qui seront sensiblement du même ordre de grandeur, entrent chacune pour une faible part dans l'erreur totale.
Dans ce cas, l'erreur résultante suivra sensiblement la loi de Gauss.
Telle est, il me semble, la meilleure raison à donner de la loi de Gauss.
Fonctions caractéristiques. — J'appelle fonction caractéristique/ (a) la valeur probable de e'^' ; on aura donc
/{a)=^pe--.
si la quantité x varie d'une manière discontinue et peut prendre seulement un nombre fini de valeurs, et
/{a)=z Ço{x)e^dx,
si X varie d'une manière continue et si 9 {x) représente la loi de probabilité. II est clair que
/(a) = 1+ ^(x) + ^ (xM -+- 7-^(^') -h. ..,
{xP) désignant la valeur probable de xp. On voit que /(o) = i.
JUSTIFICATION DK LA LOI DE GAUSS. V>y
F^a fonclion caractérisUque suffit pour définir la loi de probabilité. On a en effet par la formule de Fourier
n:rp{x)z=l /{i<x)e~''^' doc.
Si deux quantités x el y sont indépendantes et si /(a), /i {a) sont les fonctions caractéristiques correspondantes, la fonction relative à j? -\-y sera le produit/ {a) /] (a). En effet, comme nous l'avons vu au paragraphe 130, la valeur probable du produit e*(^-^y> sera le produit des valeurs probables de e«^ et e^J".
Avec la loi de Gauss
on trouve aisément
Supposons que deux quantités x et jr, indépendantes, suivent l'une et l'autre la loi de Gauss, la première avec la précision h, l'autre avec la précision A'; les fonctions caractéristiques correspondantes seront
La fonction caractéristique relative h ce -^ y sera le produit
La somme ^ +/ suivra donc aussi la loi de Gauss avec la
précision h"; c'est le théorème de M. d'Ocagne, démontré an paragra|)he 60.
Supposons maintenant une erreur résultante qui soit la somme d'un très grand nombre d'erreurs partielles, très petites et indépendantes. Soienl/,(a),/j(a), ...,/«(«) les fonctions caractéristiques correspondantes.
Chacune d'elles sera de la forme
/r ( a ) - eP««+ ?«*'+ P»*'+- • •
L'erreur correspondante étant toujours très petite, les coefficients (3 décroîtront très rapidement.
La fonction caractéristique relative à l'erreur résultante sera I& produit
/,(«)/,(«).../„(«), c'est-à-dire
Les erreurs n'ayant pas de caractère systématique, nous aurons
D'autre part, les-coefficients (3 décroissant très rapidement, 2(33, 2(3», etc. seront négligeables devant 2{3i, et il restera
ce qui est la forme de la fonction caractéristique qui convient à la loi de Gauss.
145. On a donné de la loi de Gauss une vérification a posteriori, fondée en somme sur le théorème de Bernoulli.
Si une certaine épreuve peut donner naissance à plusieurs événements tels qu'un seul d'entre eux se produise à la fois, et si l'on répèle l'épreuve un très grand nombre de
JUSTIFICATION DB LA LOI DE GAUSS. aorj
fois, les nombres des événements qui se produiront seront très sensiblement proportionnels à leurs probabilités.
On mesure un grand nombre de fois une quantité z\ les résultats sont a:,, a?,, . . ., .r„, el les erreurs /,, > ,, . . ., y^-
Si nous connaissions bien z, nous connaîtrions bien y\^y\y '"yyn\ si nous comptous le nombre d'erreurs comprises> entre deux limites données, a et /», ce nombre sera proportionnel à
j 9iyr)'^yv
On peut construire la courbe qui représente a> (y,).
On divise l'axe des abscisses en un certain nombre de parties égales à a : chacun de ces petits intervalles est assez grand pour que le nombre des erreurs dans cet intervalle soit grand ; au milieu de cet intervalle, élevons une ordonnée proportionnelle à ce nombre d'erreurs.
La courbe obtenue, si la loi de Gauss est vraie, aura pour équation
C'est une courbe asymptolique à l'axe des abscisses symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Ce résultat se vérifie, paraît-il. Ainsi Bessel a pu repré- P. 14
aïO CHAPITHE XI.
senler les résultats d'un grand nombre d'observations de Bradtey, sur la déclinaison d'une étoile.
146. On peut aussi se dispenser de tracer une courbe, et vérifier par le calcul.
Remarquons, en premier lieu, que, si l'on ne connaît pas la véritable grandeur à mesurer, on adoptera la valeur moyenne des observations comme la représentant.
Vérifions par le calcul : la valeur moyenne de ^'' serait, d'après la loi de Gauss,
celle de >'**, Éliminons A,
__ phip)\
ta? '//(a<7)l
On vérifiera que celle relation est satisfaite. Pour les observations faites, nous connaissons les erreurs yuyi> "-y^n' L'expression
VPV'
î(FPT7FT~rr
doit être égaie à
pi
«A^Tji
cette vérification se fait également, paralt-il.
