JUSTIFICATION DR LA L0( DE QAVSS
On peut encore considérer y*'''^'. La valeur probable serait nulle si l'on prenait^ avec son signe. En ne considérant que la valeur absolue, on aurait comme valeur probable, d'après la loi de Gauss,
'X'vl-
'dy;
cette intégrale éulérienne n'est pas nulle.
Si l'on avait pris ^ avec sa valeur relative, on eût eu
qui est nulle.
147. Exception à la loi de Gauss. — J'ai platdé de mon mieux jusqu'ici en faveur de la loi da Gauss dont nous allons maintenant tirer les conséquences. Peut-être pourtant la cause n'était-elle pas parfaitement bonne
Il ne faudrait pas avoir une sorte de superstition pour la méthode des moindres carrés, à laquelle va nous conduire la loi de Gauss. Nous avons vu que l'on avait parfois des raisons de ne pas adopter cette loi.
Elle suppose, en effet, qu'il n'y a pas d'erreur systématique, et il y en a toujours.
D'un autre côté, nous avons vu qu'on est souvent conduit à ne pas appliquer le procédé de la moyenne, et, par exemple, à rejeter une observation qui présente avec toutes les autres une divergence exagérée. Il n'en serait pas ainsi si la loi de Gauss était toujours vraie.
C'est donc que, dans certains cas, on croit avoir des raisons a priori de ne pas adopter la loi de Gauss. Qu'est-ce à dire? Pourquoi rejetons-nous une observation divergente; c'est parce que nous supposons qu'elle est entachée d'une
■^'î CHAPITRE XI.
erreur grossière, due â un accident quelconque. C'est done que nous ne considérons pas a priori une erreur grossiért comme tout à fait improbable, comme elle le serait d'après la loi de Gauss.
148. Entrons dans quelques détails. On peut dans certains cas supposer que l'erreur totale se compose de deux erreurs partielles; la première, due elle-même à l'accumulation d'un grand nombre d'erreurs très peliles, suivra la loi de Gauss; la deuxième sera une erreur grossière, dont ia probabilité est, il est vrai, très faible, mais qui peut être très notable.
C'est ce qui arriverait par exemple si l'on avait négligé, par inadveriance et sans s'en apercevoir, quelque précaution essentielle, quelque réglage indispensable. Et c'est là une hypothèse qui. n'a rien de déraisonnable. Soient alors
l'erreur totale, yi et/j les deux erreurs partielles. Alors r, suivra la loi de Gauss, et la fonction (^(y\) qui définit la loi de probabilité sera
et ia fonction caractéristique correspondante sera e*^.
En ce qui concerne l'erreur y,, elle pourra être égale à o, -t- A: et — k, les probabilités respectives de ces trois erreurs étant i — 2£,»e et s; la fonction caractéristique cor respondante sera
et la fonction caractéristique relative à l'erreur totale sera le produit
JUSTIFICATION DE LA LOI DK GAfSS. Il3
Quant à la fonction <p(/), elle sera T
[(i — ae)e-'^^'4- £(e-*'^-*'*-^ e-'"^**'*)].
Supposons maintenant que nous voulions savoir quelle est la valeur probable de la quantité nnesurée z, étant donné que n observations ont donné pour résultats jt,, x,, ..., x„. Nous savons que tout dépend du produit
la fonction 9 ayant trois termes, ce produit en aura 3* ; on trouvera alors pour la valeur probable cherchée
le numérateur et le dénominateur ayant 3" termes; on aura d'ailleurs
jr,-(-^,-|-...H-.r„ 9,+ 0,-1-... -4- Ô„ 2x .16
Zk — h A' r= h A: >
les nombres d pouvant prendre les valeurs o, i ou — i ; comme les nombres 6 sont au nombre de n et peuvent prendre chacun trois valeurs, cela fait bien 3*» combinaisons.
On aura ensuite
et
Pour simplifier, nous supposerons trois observations seu lement ayant donné pour résultats o, o et k, et nous néfrli-
2l4 CHAPITRE \I.
gérons le carré de 1; la valeur probable deviendra alors
où (3=:|AX:»; si p est grand, c'est-à-dire si fa différence entre l'observation discordante x^zrz k et les observations concordantes x, = ^2= o est grande par rapport à la précision de l'instrument, il peut se faire que eeP soit fini, et alors, en ne conservant que les quantités finies, la valeur probable devient
^(i — eeP),
ou, plus exactement, puisque nous ne pouvons plus négliger le carré de ecP,
3 1 -4- eeP'
Elle est donc plus petite que la moyenne arithmétique, c'est-à-dire que l'on doit attribuer aux observations concordantes un poids plus grand qu'à l'observation discordante. On admet, en somme, qu'il est plus naturel de supposer que cette observation discordante est due à une erreur grossière de la seconde sorte qu'à une erreur de la première sorte conforme à la loi de Gauss, car il est très peu vraisemblable que cette dernière puisse atteindre d'aussi grandes valeurs.
149. On peut s'amuser à faire le calcul avec d'autres lois; nous avons d'abord celles où les grandes erreurs sont plus vraisemblables que dans la loi de Gauss; on peut prendre par exemple
Le calcul ne présente aucune difficulté; avec cette der-
JUSTIFICATION DK LA LOI DB CAU88. il5
nière loi, et fn supposant trois observations j:, — j, et .r,>a:„ on trouve pour ia valeur probable de s
Pour X, très grand, cela se réduit à
ce qui montre que, x, et Xj restant fixes, la valeur probable de z ne croît pas indéGniment avec a:,. Ici encore le poids de la valeur discordante est plus petit que celui des valeurs concordantes.
Considérons maintenant des lois où les grandes erreurs sont moins vraisemblables qu'avec la loi de Gauss; comme par exemple
9(7) = Ke-*r*;
on trouvera alors que le poids de la valeur discordante est plus grand que celui des valeurs concordantes. El cela paraît d'abord assez paradoxal. Mais il est aisé de s'expliquer ce résultat. Supposons que les trois observations aient donné
la moyenne arithmétique étant -r-» les trois erreurs ont été
k k -ik r V T*
SI l'on avait pris-» les trois erreurs auraient été-* La
2l6 CHAPITRE XI.
probabilité d'une erreur décroissant très vite quand cette erreur croît, il peut se faire qu'une erreur -^ soit tellement invraisemblable qu'elle puisse être regardée comme praliquement impossible, tandis qu une erreur - resterait admissible. Effectivement
150. Quel genre de modification y aurait-il donc, dans ces derniers cas, à faire subir à la loi de Gauss? La courbe
sA---
que nous avons précédemment tracée, devrait être relevée dans les parties éloignées de l'axe des ordonnées.
Autre exemple; si la loi de Gauss était exacte, on pourrait, en multipliant suffisamment les observations, obtenir une précision aussi grande que l'on voudrait. Dans bien des cas, on a le sentiment que c'est là une illusion. Avec un mètre divisé en millimètres, on ne pourra jamais, si souvent qu'on répète les mesures, déterminer une longueur à un millionième de millimètre près.
Comment conviendrait-il de modifier la courbe de Gauss poiii tenir compte de ce fait? Ici, ce qui rend illusoires nos efforts pour atteindre une précision infinie, c'est que nous n'avons pas plus de chances de ne pas nous tromper du tout, que de ne nous tromper (|ue d'un micron ou de deux microns. La courbe devrait donc comprendre un petit palier, un petit segment de droite horizontale y = const. s'étendant de part et d'autre de l'axe des y.
Mais une pareille hypothèse est encore insuffisante pour
JUSTIFICATION DE LA LOI DK GACSH 21?
rendre compte des faits. Avec le raisonnement du paragraphe 135, on verrait que quelle que soit la loi des erreurs, si elle est de la forme <f{xi—z), la valeur probable du carré de l'erreur commise sur une moyenne de n observations tend vers zéro quand n croît indéfiniment. On peut le voir également à l'aide des fonctions caractéristiques. Soit F(a) la fonction caractéristique relative à une observation isolée; la fonction caractéristique relative à la moyenne de n observations sera *
Supposons que F(a) soit analytique et que
F(a)=:i -4- A,a-»- Aja'-f-
Nous supposerons que l'erreur n'a pas de caractère systématique, c'est-à-dire que A,=:o; nous aurons alors
logF(a) = Bja'H- Bja'H-. . ., d'où
et à la limite
ce qui montre que l'erreur est nulle.
A la vérité, on pourrait supposer que F(a) n'est pas analytique et prendre par exemple
On en déduirait
2ld CUAPITRB XI.
de sorte que l'erreur sur la moyenne ne tendrait pas vers zéro ; cette hypothèse correspond à la suivante :
Comment le raisonnement du paragraphe i35 se troure-t-il en défaut dans ce cas?
D'après ce raisonnement, la valeur probable du carré de l'erreur sur la moyenne est n fois plus petite que la valeur probable du carré de l'erreur d'une observation isolée. Cela reste vrai, mais ici cette dernière valeur probable, représentée par l'intégrale
y'dy
est infînie.
Cela n'est pas encore la solution que nous cherchons. Nous ne verrions pas l'erreur sur la moyenne tendre vers zéro, si la fonction <f(y) ne tendait vers zéro plus vite
que -j pour y très grand, c'est-à-dire si de très grandes
erreurs n'étaient pas très improbables.
Mais si nous ne pouvons compter qu'un instrument quelconque nous donnera une approximation indéfinie, à la condition de répéter suffisamment les observations, ce n'est pas à cause des très grandes erreurs, c'est au contraire ài cause des très petites erreurs, le bon sens l'indique suffisamment.
151. Il faut donc admettre que la fonction 9 n'est pas de la forme (p{Xi — z), mais de la forme o{x,, z). Supposons par exemple que l'instrument soit gradué en divisions dont nous puissions apprécier le dixième; en général, nous ne noterons sur noire carnet que des nombres entiers de
JUSTIFICATION DB LA LOI DE GAUeS. ÏIQ
dixièmes: si nous y inscrivions des centièmes ou des miilièmea» ce serait tout à fait au hasard. Supposons qu'il n'y ait d'autre erreur à craindre que l'erreur de lecture ; prenons pour unité le dixième de division, de façon que x/ soit toujours un entier. Nous pouvons admettre par exemple que, si t est compris entre /> — e et /> -+- e {p étant entier), nous noierons certainement x/:=/t); que si z est compris entre
p -f- e et/) H- I — e, il y aura une probabilité - pour que nous
marquions Xi^= p et une probabilité - pour que nous marquions Xi^=:^p -+- I.
Si s est compris entre /> -+- e et /> h- i — £. et que nous fassions n obsei*vations, nous marquerons n' fois p et n' fois
/?-+-!; le rapport de n' et de n* à - tendra vers i ruand le nombre des observations croîtra ; la moyenne
tendra vers p -t- - et ne tendra nullement vers z.
On arriverait à des résultats analogues avec des lois analogues, mais plus compliquées, soit que la probabilité pour qu'on lise p varie d'une façon continue avec z, pourvu que cette probabilité ne soit pas une fonction linéaire de z —p; soit,* ce qui est plus vraisemblable, que la courbe (Jui représente cette probabilité présente un palier comme cela avait lieu dans l'exemple particulier que nous venons de traiter; soit enfin qu'à une erreur de lecture offrant l'une de ces particularités, viennent se superposer des erreurs provenant d'autres sources et suivant la loi de Gauss.
Si fia:,, z) ne dépend pas uniquement de la différence
yi^=.x, — z, la valeur probable de l'erreur qui est
V, 9{x,, z)dyi
dépend de z. Il cse peut qu'elle ne soit pas nulle, bien que l'erreur n'ait aucun earactère systématique proprement dit. Si en effet cette valeur probable est représentée par ^'(z), il suffit que l'intégrale
9{z)dz
[ou mieux / <\»{z)9{z)dz, où ^{z) représente la proba-
bHité a priori pour que z ait une valeur donnée], comme dans le chapitre X, soit nulle, pour que l'erreur ne puisse pas être diie systématique; mais d{z) n'a pas besoin d'être identiquement nul. Par exemple, reprenons l'hypothèse où nous nous étions placés plus haut, et supposons do plus que nous sachions d'avance que z est compris entre p el p -h i ; de sorte que ^{z) est nul quand z n'est pas compris entre ces limites et peut être regardée comme une constante dans le cas contraire. On aura alors
Il est aisé devoir que
/ ^{z)Q{z)dz— i 6{z)dz
152. Reprenons alors la formule du Chapitre \I qui nous donnait la valeur probable du carré de l'erreur commise sur
la moyenne
