JUSTIFICATION DE LA I.OI DE GAUSB

ce qui peut encore s'écrire

Cette formule subsiste seulement quand les valeurs probables 7 et /* de l'erreur d'une observation isolée et de son carré vont dépendre de z. D'après ce qui précède,

peut ne pas être nul ; le premier terme tendra vers zéro quand n croît indéfîniment; mais il n'en est pas de même du second qui tendra vers

de sorte que la valeur probable du carré de l'erreur commise sur la moyenne devra s'écrire (en n'attribuant plus à z une valeur particulière)

9'{z)'\){z)dz

et ne s'annulera pas puisque tous ses éléments sont positifs.

On pourrait aussi se servir de la fonction caractéristique; celle-ci peut s'écrire

les ^ dépendent de z et [3,, qui n'est autre chose que d{z), peut ne pas être nul. Pour l'erreur commise sur la moyenne,

la fonction caractéristique sera qui pour n très grand se réduit à

eP« « = I -h a, a -(- — H

Les valeurs probables de l'erreur sur la moyenne et de SOD carré seront alors p, et (3? pour une valeur particulière de z, et si on ne se donne pas une valeur particulière de z.

J^,^{z)dz = o, J^\^{z)(U

153. La loi de Gauss suppose encore <p fonction de y seulement,./ étant égal à x -- z, tandis que <p peut dépendre de X et de z.

Par exemple, pour tenir compte de l'erreur décimale nous aurions pu prendre

<f{X)=^^e-''r'dix),

Q( x) étant une fonction périodique de x, de période i, qui serait maximum pour les décimales qu'affectionnent certains observateurs et sur lesquelles ils retombent toujours. D'autre part, il y a moins de chance d'erreur si l'on tombe précisément sur une division donnée directement par l'in&trument, que si l'on est obligé de subdiviser une de ces divisions au jugé. Alors h ne serait plus une constante, mais une fonction de x qui aurait une période égale à i ; la