X. — ai

Les équations en «p. sont, en général, incompatibles, les lignes de visées ne passant pas exactement par M et formant autour de ce point un petit polygone. Un point quelconque pris à l'intérieur de ce polygone

sera une première approximation, M«( JT», y^). Je pose

Fig. 19-

^ et n seront de très petites quantités.

Posons

?/=?'-+-• Wi-

(Dans le cas de Ja figure 19, <i>^ serait négatif.) D'ailleurs

<pf = arc tang

x^ — at

Développons 9, suivant les puissances croissantes de et T), en nous arrêtant aux termes du premier degré :

TO(j?o— <?,) — $ (y,— ^>,)

Soit

MÂTIIODR DES MOINDAKS OARRés. 1\y

A.- ro-^

(JTo— a,)»4-(yo-^)*

Alors

La valeur observée de 9, est 4'/.

£, sera la valeur observée de w/. Les équations qsic donnent les observations seraient les suivantes :

Ces équations sont, en général, incompatibles, parce. que les observations ne sont pas exactes ; il faut choisir ^ et yî de façon que

I(A,-4-f-B,y)-e,)' soit minimum.

Je différentie par rapport à | et à m :

1 \i{A.,i -\- Hit, — £,) =z o, 2B,(A,f-HBfTj-e,) = o;

d'où deux équations linéaires pour déterminer ^ et ii,

$2A« H-Yj2AB = 2Afc} ^lÀB + YiiB* =IBe.

175. Deuxième exemple. — Supposons qg'on ait mesuré neuf angles : soient z, les valeurs de ces angles, x/ les valeurs observées, // les erreurs. Imaginons qu'on ait entre

248 CHAPITBB XIII.

ces neuf angles les quatre relations de condition

•«1 -h a, -+- Z, = TT»

■3^ -4- -Sj -|- 3 j ^ TT,

zt^ z,-h a,= 7r,

A, étant une quantité très petite donnée par l'observation l'excès sur deux droits de la somme des angles observés,

ar, -h a?! -h JTj — 7f 4- A|, d'où

De même

La quatrième équation de condition exprime que

Il s'agit de déterminer les^ de façon que la somme

soit minimum.

Je vais introduire quatre quantités auxiliaires, ti, e„ e,, e^f correspondant aux quatre quantités A,, A,, A«, h^. Ainsi, pour v„ je me servirai du coefficient de Vi dans la première équation, où il est 1, puis dans la deuxième, puis dans la troisième, où il est o, puis dans la quatrième, où il est i :

J3 = Et -!-£»•

On trouve de même

MftTHODB DBS MOINDRBfl CARRÉS. 249

Pour déterminer les t, je remplace les j par leur valeur

«1 H «1 -+-«,-+- 3*4=^4; d'où

3(ei -H «« + «») 4- 3e4= A, -♦- A,.-H Aa et

6 £4= 3 A4 — hf-—hi — A|,

et ainsi de suite.

Ce procédé est ici plus commode que l'autre. Il y a neuF angles et quatre équations de condition, d'où cinq arbitraires; nous avons eu à résoudre quatre équations à quatre inconnues, et par l'autre méthode nous aurions eu cinq équations à cinq inconnues.

176. Autre exemple. — On a visé un certain nombre de points Ml, Mt, ..., M„ qui ne sont pas en ligne droite et qui devraient l'être : quelle est la droite la plus probable?

11 s'agit de déterminer n nouveaux points en ligne droite, de telle façon que la somme des carias des erreurs soit minimum.

L'erreur est double : elle porte sur l'abscisse et elle porle sur l'ordonnée. Si je suppose que la probabilité d'une erreur sur l'abscisse soit la même que la probabilité d'une erreur sur l'ordonnée, la somme des carrés des erreurs sur l'abscisse et sur l'ordonnée sera la somme de quantités telles que

mT/.

Nous avons besoin, en réalité, non des points P,, mais

)5o CHAPITRE XIII.

la droite D qui passe par les points P, : je dis que M|P/ doil être perpendiculaire, à D.

Si elle ne l'était pas, soit M/P^ celle perpendiculaire; en remplaçant M/P, par M/P^-, je diminuerai la somme qu'il s'agit de rendre minimum, et par conséquent elle n'était pas minimum.

Je ne m'occupe plus des P : je vais chercher une droite telle, que la somme des carrés des dislances des points M, à cette droite soit minimum.

C'est le. moment d'inertie des points par rapport à celle droite qu'il faut rendre minimum, en supposant que chacun des points ail été affecté d'une masse égale à i.

Comme première propriété, la droite passe par le centre de gravité. Si l'on fait tourner la droite, on sait que le moment d'inertie varie suivant une loi très simple, qui amène à la définition de l'ellipsoïde d'inerlie. Ici, cet ellipsoïde sérail infiniment aplati, puisque lespointssontdansun plan; la droite est donc le g^and axe de l'ellipse à laquelle il se réduit. Cette ellipse d'inertie serait d'ailleurs une ellipse très allongée, puisque les points sont sensiblement en ligne droite.

177. Dans le cas où l'on vise un point dans un plan, la probabilité d'une erreur en abscisse peut n'être pas la même que celle d'une erreur en ordonnée. Les deux erreurs peuvent aussi tie pas être indépendantes. Nous avons étudié ce point en détail dans le Chapitre précédent.

Nous avons été conduits à considérer, dans le cas du point visé, une série de petites ellipses; la probabilité que les coordonnées du point soient comprises entre x et x -h dx^ y et y -h dy, s'est exprimée par une fonction

e^ dx dy.

nÉTHODR DKS M0INDRB8 CARRKN. 2^1

el le polynomo du secoml degré P, égal»' à une conslatile, nous a donné l'équalion d'une de ces ellipses.

Revenons aux points en ligne droite.

Du point M| comme centre je décris une ellipse homothétique à l'ellipse normale, et tangente à D. Je fais la somme des carrés de^ grands axes des ellipses ainsi décrites autour des divers points M, et j'écris qu'elle est minimum.

Ce cas se ramène aisément au précédent. Par une transformation homographique, ces ellipses peuvent devenir des cercles. Si, par exemple, le petit axe est la moitié du grand axe, on multiplie toutes les abscisses par 2, et l'on n'a plus qu'à chercher le moment d'inertie comme tout à l'heure.