On peut écrire
si
P^{xt-zr+ix,-zr+...+{x,-zy.
P est un polynôme du second degré en z qui atteint son minimum quand z est la moyenne arithmétique des quantités x; représentons ce minimum, qui est positif, par naK
254 CNAPITRB XIV.
Je pose
X| -h JFa •
d'où et
Alors devient
di = dy
tw~pi
Pour/, comme pour z, on intégrera de — «> i -♦- «.
180. Cherchons la probabilité, pour h seuleoienl, d'élre compris entre A et h-hdh, y ayant toutes les valeurs possibles,
dh j h^e-^^^^^'i^dy f dh j h^e-'"'<y'^*'^^dy
^ dépendait de « et A; il dépend maintenant de / et A. Restreignons d'abord le problème en supposant toutes les valeurs de j également probables, c'est-à-dire 4^ indépendant de^.
On a
f e-ffnr^+a*) Jy — g-nha* j g-«Ar' Jy ^z: g-nAa'» /JL.
CALCUL OR L'ERIIEUII A CKAIMOKS. a55
La probabilité relalive ù /i seul devient alors
dh.h * g-^^g'^l;
dh.h* «-"**• ^
181. Quelle est d'abord la valeur la plus probable de AT Cherchons le maximum du numérateur, puisque la probabilité lui est proportionnelle.
Ce numérateur peut s'écrire
y/Ti Or le maximum de dh4f'*x/ a lieu en général quand
f et, si/> est très grand, on peut négliger^; le maximum e§l
donc atteint en même temps que celui de ^.
Ici <^ esl v'A «"**'; écrivons que la dérivée logarithmique est nulle :
On a ainsi la valeur la plus probable de h.
On remarquera que, en supposant un nombre très grand d'observations, la fonction arbitraire ip n'inlervieni pas. Ce n'est pas étonnant : l'hypoihèse que nous avions fondée a priori sur le plus ou moins d'habileté de l'observateur disparait devant le grand nombre de résultats que nous contrôlons.
a56 CHAPITRE XIV.
182. Quelle esl la valeur probable de h^t Celte valeur probable est
Jj^m n— I
ou
Si n est très grand, nous savons vers quelle limite tend le rapport de ces deur intégrales; c'est
hf, étant la valeur la plus probable. Ainsi la valeur probable de hp est h^.
Cette conclusion n'est vraie qu'à la condition que n soit très grand et que p soit fini.
Faisons tj; = i : nous arrivons à des intégrales eulériennes
Le rapport des valeurs asyntptoliques donne ce qui est bien notre conclusion.
CALCOL DE l'ERRBUB A CRAINDRE. ^7
Mais, SI l'on ne suppose pas p fini, elle ne serait pas applicable. Supposons /> très grand, égal à - par exemple :
I^ip) pPe-PsJinp
Le second membre se réduit à iPe~''\px{a})~P. On trouve donc pour la valeur moyenne de hp une expression très différenle :
ou '
183. Probabilité de l'erreur commise. — Le problème se divise en trois :
1° On peut se proposer de calculer la probabilité a priori.
On n'a pas encore fait les observations ; on sait seulement qu'on va en faire n et qu'on appliquera la méthode des moindres carrés. Nous connaissons aussi l'habileté de l'observateur.
2° Le problème est entièrement différent, si nous nesavons pas à l'avance la valeur à attribuer à la constante qui entre dans la formule de Gauss. Nous ne connaissons pas l'habileté de l'observateur, mais nous, connaissons les résultats des observations.
3» Nous connaissons l'habileté de l'observateur et les résultats des observations.
184. Premier problème. — On ne connaît pas les résultats, mais on connaît l'habileté de l'observateur. On suppose alors que le poids est le même.
Soient /,,/,,..., j„ les erreurs qu'on va commettre; P.
X,, Xj, ..., x„ seront les valeurs approchées des quanlilés vraies z,, z^, ..., z„.
Celles-ci seront liées par q = n-^p équations de condition :
Si l'on substitue à Z|, a», .-.jZ^ les quantités xi, x,, .. , x^, ces équations ne seront pas satisfaites, et Ton aura
<I>,(x,,ar„ . ..,x„)=/i./,
OÙ fx, est très petit.
Je remplace xj^ par y^-hx*, et je développe suivant les puissances croissantes de kx» en m'arrêtant aux termes du premier degré :
Pour fixer les idées, faisons n = i, et supposons qu'il y ait deux équations de condition
Al j, -H A, j', -h A,^,— /x,
Bijr. -^^ Bt/^-^-BJ),=:|Ul'.
|jL, /ji' sont très petits, mais je ne connais pas leur valeur, puisque les observations ne sont pas faites.
Il s'asrit de calculer les corrections yt à effectuer sur les valeurs observées a:,; les corrections dépendent évidemment de IX et de jul', et nous aurons, par exemple,
Je ne connais pas la forme de d, mais je puis développer suivant les puissances croissantes de fx et de /x', et, connme les jm sont très petits, négliger les carrés des fx ; je serai con-
CALCUL DE L'BRREDR A CRAINDHI. l59
doit à poser
en général
yt = iifi + x,ix\
les "k étant des constantes à déterminer. Gauss les déler- Kiine de façon que la valeur probable de (//— J'/)*, c'eslà-dire de
(/'— ^//* — ^il^')*.
soit minimum.
// s'agit de ta valeur probable en supposant que Von con~ naisse d'avance C habileté de l'observateur mais non les résultats. Si on connaissait les deux, la solution serait en général différente.
185. Pour bien faire comprendre cette différence, je vais examiner le cas le plus simple : on a observé plusieurs fois la même quantité z.
On prend la moyenne des observations, ce qui est conforme à la méthode des moindres carrés.
L'erreur commise sur la moyenne sera
La probabilité a priori dé l'erreur commise, pour la première observation, par exemple, sera cp {y^) dy^,
La probabilité a priori pour que z soit compris entre z et z -+- dz Sera ^ {z)dz.
Ciierchons la valeur probable de (^ — — — — — ^j »
quand on ne connaît pas les résultats des observations, et.
ÎÔO CIIAPITRK XIV.
qu'on connaît ^,
C'est la première valeur probable.
Si l'on connaît' à la fois l'habileté de l'observatetir et les résultats, on a une deuxième valeur probable très différente
Br=
1 9iyi)9iyi)---9iyn}^iz)dz
Dans le premier cas, ot> avait affaire à n variables indépendantes ji,/,, ...,y„d'où une intégrale multiple d'ordre n; dans le second, on n'a plus qu'une seule variable s.
Supposons qu'au lieu d'appliquer la règle de la moyenne et d'adopter, par conséquent, pour z la valeur
JC ^ ~f~ ^j ~T~ • . • "^ '^n
on ait adopté une autre valeur
j:, -f- JT, 4- . . . + Xn
l'erreur commise eût été égale à
Nous aurions trouvé alors pour la valeur probable du
CALCtL DK L'kRRRUH A CRAINURB. 261
carré de celle erreur sans connattre les résultats
el pour la valeur probable de ce même carré connaissant les résultats
J(ll±yi±^^l±IjL ^ ^y a,( r.) <9(y,)..Myn) H^)dz
9iyi)9i.}\)---9iyn)^{2)dz
Alors A atteint son minimum pour g = o, pourvu que la /onction <p soit paire.
Au contraire, pour que B atteigne son minimum pour e =0, il faut que la loi de Gauss soit vraie.
Gausa s'était placé au premier point de vue dans l'analyse que nous avons reproduite au Chapitre XI, paragraphes 129 et suivants, et il avait ainsi démontré que la règle de la moyenne est toujours légitime.
Il s'était placé au second point de vue dans l'analyse que nous avons reproduite au Chapitre X, paragraphes 108 et suivants, et il avait démontré que cette règle n'est légitime que si la loi de Gauss est vraie.
186. Revenons aU problème qui nous occupe cherchons à déterminer les X. il s'agit de rendre minimum
(.rt-A,/*-X',/z')^
[i. et [x' sont des 'fonctions linéaires des /; donc c'est un polynôme homogène et du deuxième degré, par rapport à Ji, /a, • . • , y m qu'il faut rendre minimum.
Par hypothèse, les poids sont les mômes.
3^2 CUAPITBB XIV.
Soit m' la valeur probable de y\; m' sera aussi la valeur probable de^J, et celle àe y\.
Si nous avions à faire trois observations, nous n'aurions pas le droit de supposer à l'avance ^i plus grand que y^ ou que y,.
La valeur probable du produit/,/, sera nulle : elle sera le produit de la valeur probable de ji par la valeur probable de yt, et la valeur probable de/, est nulle puisqu'il n'y a pas d'erreurs systématiques. Cela est vrai, parce qu'on ne connaît pas les résultats observés, et ne le serait plus si on les connaissait.
Comment trouver la valeur probable du polynôme? On remplace tous les termes carrés par m*, tous les doubles produits par o.
Ce polynôme, si l'an substitue à fx, et /x' leur expression en fonction des/, devient
le coefficient de y\ est (X,A,-h >', B, — i)'; celui de y\ est (>,A,+ À', B,)*; celui de /J est (X,Aî+ X', B,)*. Donc {/i — Xi/x — >', il' )' est égal à
m«[(A,X,H-B,X; — i)«-f-{A,X,-+-B,X',)» + (A»X,-j-B,X;)«]. VoiHi ce qu'il faut rendre minimum.
187. Appelons m*P le second membre : il représente la valeur probable du carré de l'erreur, (/« — /',)*, qui subsiste après la correction.
Égalons à zéro les deux dérivées
dP dP
CAtCUL DB LRRRBtn A CRAINDRE.
c'est-à-dire
A,(A,X,4-B,A',-i)4-A,(A,>,-HB,>',)-hA,(A,À,-t-B,>;)=:o,
et, par symétrie,
Bj(A,X,-i-B,X', -i)-HB,(A,X,4-B,>',)-HB,(A,A,-t-B/A',)=o.
Ce système peut s'écrire
^ X,ZA= +X,iAB = A,,
