F = Q,F'VR

F'=Q,R,-hR„

Ri = Q,R2-hRs,

IL n'y a pas de terme R„ dans la dernière équation, car

En général, F est de degré n. F' de degré n — i, R, de degré n — 2, Rp de degré n — p — 1, R„, de degré o et tous les Q de degré 1.

On a

Rn-3 /-x Rjt-I

R«-2 Qn

Ainsi

207. Nous avons à considérer les réduites successives de ce développement. Comme

a la place de

je puis écrire

-QîF + F'(i + C).Q2) = R..

Si je pose

THEORIE DB t'iNTERPOl^TlON. "i^^

j'aurai

Si je pose

N, = -Q„ D, = -(i-hQ,0,) j'aurai

Nous exprimerons de ia même manière un quelconque des restes successifs,

Comme

Ri^= Q<4-2R/-t-i ~t~ Rjvîi

si je pose

j'aurai encore

Sur ces relations de récurrence, on constate que R,, Rj, ... et R„j

sont respectivement de degré n — 2, n — 3, ... et i, et que R„, est une constante. Ni est de degré o, Nj de degré I, ..., Ni de degré i— i. On voit aisément que, si cette proposition est vraie pourN, et N,^.,, elle l'est encore pourN,+.î. D, est de degré i.

208. Je dis maintenant que N, et D, sont le numérateur et le dénominateur de la réduite d'ordre i.

a8/| cnAPiTRB XV.

Les relations de récurrence rendertl ceci évident; mais on peut le voir autrement. J'écris la suite

R,,^Q,R,,-+-R„ d'où je déduis

Je puis encore écrire l'équation suivante

Supposons que l'on veuille calculer la réduite

Je n'ai qu'à faire R/ = o dans l'égalité précédente, et faire aussi

(3,= Q,a,-t-R;, a/=Q,R;-^Ri,

les R étant devenus des R'.

THSORIB DB L'INTERPOLATION. Ct85

On a entre les R' également des relations de récurrence,

R/ est nul; donc, N/ et D< étant les mêmes que plus haut,

■=^ est bien la «'*""• réduite.

Quelle relation y a-l-il entre cette réduite et le problème proposé?