L'équation fondamentale est
Faisons attention au degré de tous ces polynômes. Rappelons que : N, est de degré i — i ; F est de degré n; D, est de degré i; ¥' est de degré n — i ; R, est de degré n — i — i.
De l'équation fondamentale je tire:
Je multiplie les deux membres parxi^,
Je m'en vais évaluer ia somme des résidus dans les deux membres ; notons d'abord que pour ce calcul nous ne devons tenir compte que des deux fractions où F entre au dénominateur.
286 CHAPITRK XV.
Supposons ensuite que, dans une fraction rationnelle, le degré du nunnérateur soil d'une unité inférieur à celui du dénominateur, par exemple
A'jC'-h B'a:''-'-^. . .
cette fraction se décomposera en
Si je multiplie par x,
tendra vers lA, ou la somme des résidus, quand x croîtra indéfiniment, les autres 1 (c'est-à-dire celles où x — a entre au dénominateur à une puissance plus grande que i) s'annuleront.
Mais
xP
lim-TY-=o, pour x=oo,
si le degré de xP est plus petit que celui de 0- Donc : la somme des résidus sera nulle si le degré du numérateur est inférieur de plus d'une unité à relui du dénominateur. Considérons
le dénominateur est de degré n, le numérateur de degré n — I — i -h fj.. Si
n — I — i -*- [j.<Z n — i, c'est-à-dire
la somme des résidus sera nulle.
TlIKORie DB L'INTERPOLATIOX. 287
Ainsi, quand /jL est égal à o.i, ...,/ — i. la somme des résidus est irulle.
p 210. Quand on a affaire à la fraction rationnelle jr> que
Q n'a pas de racines multiples et s'annule pour x r^ a, le résidu pour x t= a est
Prenons pour a l'une des valeurs qui nous a servi à calculer/(j-) ; le résidu par rapport à a de
sera
a^[),{a)¥'{a) F'(«) ou
al»D.(a).
Ainsi, pourvu que /jl soit plus petit que i,
laV-l)i{a) = o,
la sommation étant étendue à toutes les valeurs de a,
a,, rtj, ..., a^.
H en résulte que, sî P,, est un polynôme quelconque
d'ordre i— i,
iP,,(a)D,(a) = o.
Prenons
P.-,= D*; alors
Cette équation est vraie pourvu que k soit plus petit que i.
Mais, comme rien ne distingue les deux indices, cette équation est encore vraie toutes les fois que k est différent de i.
Les polynômes de Legendre ont une propriété analogue; pour deux d'entre eujc
on a
v«v,rfT=o; '—1
ici, au lieu d'intégrales, on considère des sommes finies.
211. Nous voulons obtenir un polynôme d'ordre q plus petit que n — i, dont les coefficients seront choisis de telle
sorte que
2[A,-/(a,)P soit minimum.
Si/(a:) est un polynôme d'ordre ç, il peut toujours être roir sous la forme
/(x) = Co-f- C, D,(x) -\- C, D,(^) -h. . .-+- C^D^(x).
Il s'agit de déterminer les coefflciients C de façon à rendre minimum la somme des carrés
2(A-Co— C,D,-C, D,-... — C,Dy)«.
