Développons ce carré

Sur une première ligne, nous mettrons les termes carrés

2A«+ /iC| -H q 2DÎ 4- C» 2DÎ -^. . .-+- q 2D5.

Sur une seconde ligne, nous mettrons la somme des termes rectangles tels que

— 2Co2A — 2C,2AD,-...-2C„2AU,,

THEORIB UK l'iNTERPOLATION. 289

iADy-AJ>,(a,)-t-...4-AJ),/(ff„).

Sur une troisième ligne nous mellrons une somme de termes tels que

3CoQiD,-i-2C,(:,il),I),.

Or

Restent la première et la deuxième lignes. Je puis d'ailleurs abréger l'écriture en posant

i = Do(x).

La somme des termes à rendre niiniinum se réduit à

Je différentie par rapport à C/ et je divise par 2; en égalante zéro la dérivée par rapport à C,,

d'où l'expression suivante pour C,,

c'est-à-dire

ç A,D,(a,)-(-A,D,(«,)-^...-hA„]>,(a„) l);(r7.)H-D*(a,)'+-...-f-D?(fl„)

L'analogie avec un autre problème d'analyse est évidente.

Quand on veut développer une fond ion / (x) en série procédant suivant les polynômes de Legendre, on arrive ù

OÙ

Ç Xf dx

Ici les relations sont du même genre, sauf que, au lieu d'intégrales, figurent des sommes.