Quel est l'avantage de ces polynômes D

Je suppose que l'on ait essayé d'abord de représenter les observations par un polynôme de degré çr : on a trouvé alors Co, C,, ...» C^. On constate ensuite que la somme des carrés des erreurs commises est inadmissible : on se résigne alors à poursuivre avec un polynôme de degré q -\- i. Tout serait à recommencer, si l'on avait eu recours à un procédé quelconque; ici, au contraire, on n'a qu'à ajouter un terme Cy^.,D^+, (a:) : les précédents coefficients Co, C,j ..., C^, ne changent pas, comme on le voit sur l'expression de C,.

214. Le problème se pose déjà quand on veut simplement interpoler une fonction : pourquoi prend-on habituellement comme solution un polynôme d'ordre n — 1 ?

Voici une fonction /(^), holomorphe à l'intérieur d'un certain contour, d'un cercle par exemple. Les valeurs que nous avons données à la variable sont petites par rapport au rayon du cercle.

Pour les valeurs ai, «„ . . ., a„ de la variable, on corinaii la valeur de la fonction. Il s'agit de connaître la valeur de la fonction pour une valeur x à l'intérieur du cercle.

L'intégrale

f{z)dz

{z — x) {JB — ai) {z — a^) . . .(z — a„)

THEORIF IIE l/lNTRRPOI.ATlON. 2gi

s'annule prise le Ioiik <la cercle. D'aulre pari,

f{2) dz

a;)(« — a, )(a — rt,) ...(* — a„)

est la somme des résidus de la fonction /(s) pour les p6les Xy Ui, a,, . . ., a,„ c'esl-à-dire

(.r — fl,)(x — a,)...(x — a„) (aj— x)(a,— CT,)...(a, — «„)

J'appelle en général P, le polynôme qu'on obtient en supprimant dans

(z — .r) (2 — rt,)(^ — «I )•..(«— «,.)

le facteur z — «,, et en remplaçant z par a,. Je pose aussi

Y{x) — {x — ai){x~ai)...{x--an).

Alors

d'où

215. Telle est la formule générale de l'interpolation; au second membre figurent: i^un polynôme entier; a» l'erreur commise.

Cette erreur est

JF

, I rf{x)dz X — rt, X — «j X — a„

Si R désigne le rayon de convergence, et que x soit assez voisin de a, pour que

29'i CUAPITKE X \ .

cliacun des fadeurs ' -' sera plus petit que -, et sous le

signe / il y a « de ces facteurs.

Donc JF sera très petit si n est très grand.

S'il était seulement probable que le rayon de convergence ait une certaine valeur, ou serait en présence d'une question de probabilité.

216. Je suppose que l'on sache rt/>/7o/7 que la fonctlon/(a-) est développable, dans un certain domaine, suivant les puissances croissantes de x,

/(x) =r AoH- A,ar -i-

Nous ne savong rien sur les A, sauf que la probabilité pour que l'un d'eux. A,, soit compris entre certaines limites, yetf-hdy, est

!^e-''iy'dy.

Nous connaissons par n observations

Nous cherchons la valeur probable nie /(^) pour une autre valeur de x.

C'est un calcul d'interpohtion, avec cette différence que nous cherchons un polynôme limite.

Je me hâte d'ajouter que je considère la question comme un simple exercice de calcul, car j'ai introduit arbitrai-

THKORIF. DK l'iNI KftPOI.ATIOX. JUjS

rement iu loi de Gaiiss; autrement le piohiénie rcsieiail indéCerminé.

217. Nous avons à délerminer les coefficients A, eu nombre infini, de la fonction, ù l'aide de n observations : ici, il y ;i plus d'inconnues que d'observations, et nous no pouvons nous guider que par l'idée que nous nous luisons a priori de la loi de probabilité.

Nous nous élevons ainsi en généralité plus encore <|ue nous ne l'avons jamais fait jusqu'ici, puisque nous avons à déterminer une fonction itjconuue.

Je vais d'abord ne prendre qu'un nombre fini de coefficients.

218. D'une manit're générale, soit un nombre fini d'inrounues,

p est connu.

Je suppose que la |)robabilité, pour que «, soit compris entre m et a -t- du^ est représenlée par la loi de (Jaiiss.

'''e-'''"'du.

La probabilité pour que l'un des u s'écarle de zéro sera d'autant plus petite que h sera plus grand.

Nous connaissons les valeurs de certaines fonctions des Uy

en supposant les observations parfaitement exactes.

n est plus petit que p, il y a plus d'inconruies que d'observations.

Je suppose que les or sont fonctions linéaires des //; c'esi

2g4 CHAPITIIR XV.

ainsi que, dans l'exemple qui précède, les B étaient fondions linéaires des A et qu'on avait

B*rz: Ao+ A,rt*-+-

Je pose donc

y*= Ci wt -4- Ci. w, 4- . . . -h C? Up.

Les observations nous ont appris que ja est compris entre œu et a:/, -+- dx^. Chercher les u, c'est résoudre un problèTie de probabilité de causes. Les causes, c'est que les n sont compris entre certaines limites ; les effets obsei*\és, c'est que les x sont compris dans certaines limites.

La formule

IpifJSi

va se simplifier ici.

219. Si les u ont des valeurs déterminées, les fonctions linéaires x,^ auront également des valeurs déterminées, et ia probabilité de ces valeurs sera la certitude; suivant que

K fondions tomberont ou non entre les limites données p-'r r« hservation, la probabilité sera i ou o. Donc la formule de la probabilité a posteriori se simplifie en

si l'on a représenté par/>, la probabilité de l'effet quand la cause agit.

I^i porte sur toutes les probabilités relatives aux valeurs des u compatibles avec les observations; cj, est la probabilité a/)non pour que les diverses (|uanlités u soient comprises entre certaines limites.

La A^'*"^» inconnue a pour probabilité d'être comprise entre

THEORIE DE L'iNTERPOLATION. jyS

Uk el Uk -4- dut,,

Vit comporte p fadeurs analogues,

^i = y ' ^^p'^" ^-^''^"^^''^"^^■■■■^'•v")^)du^du^. .. du,.:

j'écrirai pour abréger

xSi=i n du^ dui . . . du,,j

lv3i= I îldut du, . . . du p.

d'où

Il faut intégrer pour toutes les valeurs des u compatibles avec les observations, c'est-à-dire satisfaisant aux inégalités

J^A < Ci «, + CJ «, + . . . -H C? Up < .r/k -+- dx^. La probabilité cberchée sera

CT/ II dui dui . . . dup

"^ ' / n dui dui . . . dUf

quand les u satisferont aux inégalités ci-dessus. Sinon l'on aura » comme probabilité.

220. Si Je cherche la valeur probable d'une fonction quelconque des u.

^ f FllduidUi . . . dui / lldui du* . . . dup

Nous allons transformer ces deux intégrales.

On a

^1, < y h <.Xh-^ dxu.

Je vais prendre pour inconnues /i, y„ ..., v«, et j'y adjoindrai p — n fonctions linéaires des a tout à fait quelconques, Zj, 32,..., z,,„.

YVdui dui. . .dup

va se transformer en

n A dyi dy,. .. dy„ dzidz,. .. dzp„ .

A est le déterminant fonctionnel des u par rapport aux v et aux z; comme ce sont des fonctions linéaires, A est constant. II vient

/ Fn dyi dy^. . .dy^ dsi dzi . . .d»p.,r

rn dy^ dy^... dy„ dzi dz,... dzp„

Nous avons à intégrer d'abord par rapport aux y\ /, par exemple variera depuis xy jusqu'à a-, -h^/j*,, c'est-à-dire

très peu; la fonction sous le signe / va rester sensiblemeni

constante, et l'on pourra écrire

dx^ da-i. . .dx^ 1 TU dz^ dz^ . . .dzp^n

dxy dx, . . . dx„ I n dzi dz^ . . . dzp^n

Les différentielles des x disparaîtront.

Fil et n sont des fonctions des z, et nous intégrerons par rapport aux ^ de — « à -+- oc.

Il est le produit d'un facteur constant par une exponen-

THKORII-: DE l'interpolation. ^97

lielle, e-(*'"^*'"'^ -^V'/'); Texposanl est un polynôme — P du second ordre et non homogène par rapport aux z.

221. Supposons F fouclion linéaire des z. Ciierchons la valeur prol)abIe de F.

Les valeurs probables des différentes quantités z s'obtiennent en cherchant les valeurs qui rendent minimum l'exposant P : soit ^? la valeur de ^/ qui rend P minimum.

Alors

P = P,4-Po.

Po est une constante, et Pt est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux quantités a, — s?. L'intésrrale

{z^-zj)e-^dz,dz,...dzp„

porle sur une fonction impaire par rapport à ^/ — z?; en intégrant de — » à -\-<k, on aura zéro pour la valeur de cette intégrale.

On en déduit que, si F est égale à Fo quand on y remplace 5/ par 5?,

\¥ — ¥o)e-^dzidz2...dzp,,

est nulle, prise de — « à + ».

De même

(F — F,)nrf5, rfsj. . .dzp.H=o; et par suite

J^FUdz^ dz^. . .dzp.^z=z F.Judz, dz„ . .dz^„.

c'est-à-dire

FzzzFo.

Ainsi on obtiendra Ja valeur probable de F en substituant à Zi les valeurs qui rendent minimum le polynôme P.

222. Appliquons ces principes au problème posé au paragraphe 216.

Au sujet de /(^), nos inconnues u sont les A et nous avons

P =. h,kl -H /î, Aï H- . ... 4- h,k] + . . . .

Il faut rendre ce polynôme minimum.

Les valeurs des A seront d'ailleurs arbitraires, sauf les relations linéaires données par les observations

Kcrivons que P est minimum. L'accroissement d9 devra être nul quand les A, s'accroîtront de rfA,

d^ = ^0 Ao fl^Ao 4- . . . -f- hiki fI\,-\-. . . — o.

Les accroissements dko, . . ., dX,, . . . sont liés par

Or, /(a,) par exemple est égal à

/(a, ) iiz Ao H- A, rt, 4- . . . -f- A, a', ■+-

Donc

</Ao-f- «1 dki 4- ... -h a', dAi-h. . . = o, </Ao-t- ai d\t -t- . . . -f- a', dX,-h. . . = o,

d\^-\-a„d\i-h...-^-a'„ dki-h.. .= 0.

THEORIE DE l'interpolation. ^99