QUESTIONS DIVERSES

225. Battage des cartes. — Je me suis occupé dans l'introducliun des problèmes relatifs au joueur qui bat un jeu de cartes. Pourquoi, quand le jeu a été battu assez longtemps, admettons-nous que toutes les permutations des cartes, c'està-dire tous les ordres dans lesquels ces cartes peuvent être rangées, doivent être également probables? C'est ce que nous allons examiner de plus près.

Soit q le nombre des cartes; soit S, une permutation quelconque, c'est-à-dire l'opération qui consiste à faire passer au rang a la carte qui avant la permutation occupait le rang (3; a étant une fonction déterminée de [3. Le nombre total des permutations possibles cst<7! Il y aura un certain ordre des cartes que nous considérerons comme normal, et que nous désignerons par So; et nous représenterons par S/ l'ordre dans lequel se trouveront rangées les cartes, lorsque, primitivement rangées dans l'ordre normal, elles subiront la permutation S/. Ainsi So représentera à la fois l'ordre normal, et la permutation identique, celle qui n'altère pas l'ordre des cartes. Cela posé, deux permutations consécutives S/ et Sy équivaudront à une permutation unique S^, et c'est ce que j'exprimerai par la relation

3o2 CHAPITRE \VI.

Un ensemble de permutations forme un groupe quand le produit de deux permutations quelconques de l'ensemble appartient à l'ensemble.

Soient donc

Se, b|, • • • t <9r

les diverses permutations d'un groupe G et les ordres correspondants des cartes. Supposons que nous sachions que l'ordre du jeu appartient à ce groupe, et que les diverses permutations du groupe aient pour probabilités respectives

Poi Pu •••) Prj

de telle sorte que

7^0-1- />l+. ..-\-pr—l'

Nous pouvons représenter symboliquement celle loi de probabilité par un nombre complexe. On sait que l'on a inauguré des nombres complexes de la forme

où les X sont des quantités ordinaires et les e des unités complexes. Les opérations sur ces nombres complexes se font d'après les règles ordinaires du calcul, avec cette différence que la multiplication, qui reste distribulive et associative, peut ne pas élre commutalive. On défmit un système de nombres complexes, en se donnant la règle de multiplication, c'est-à-dire en définissant le produit e,ey de deux unités complexes quelconques.

Nous allons définir un système de nombres complexes correspondant à notre groupe (r; à chacune des permutations S/ de ce groupe, nous ferons correspondre une unité complexée/; et si l'on a l'équation (i) S,Sy = S^-, nous con-

QUESTIONS DIVERSES. 3o3

viendrons que le produit e/Cy est égal à e,,. Celle règle est admissible, puisqu'elle est associative.

Nous pourrons alors représenter symboliquement la loi de probabilité envisagée par le nombre complexe

P =/>„eo + /9, é-, + . . . -t- /)^e^.

226. Le joueur qui bat les cartes a des habitudes, de sorte qu'à chaque coup, il y a une probabilité pi pour qu'il fasse subir aux cartes la permutation S,. Celte loi de probabilité, qui nous est d'ailleurs inconnue, est représentée symboliquement par le nombre P = 2/>,ef. Si l'on est parti de l'ordre normal, la probabilité pour qu'après un coup on ait l'ordre S/ sera/?/, de sorte que la loi de probabilité des différents ordres sera encore représentée symboliquement par P. Si au lieu de partir de l'ordre normal So nous étions partis d'un ordre quelconque Sy, la loi de probabilité aurait été représentée pare^P. Si avant le coup la loi de probabilité était représentée par le nombre complexe Q, elle le sera après le coup par QP. Si donc nous partons de l'ordre normal et que nous battions n coups, la loi de probabilité sera représentée finalement par le nombre complexe P".

Ce que nous voulons démontrer c'est que, si /* est très grand, on aura sensiblement

P" = -^ (eo + <?. -^ ■ • .-H e,0, r -\- I

c'est-à-dire que tous les ordres possibles seront également probables. Et ce résultat sera indépendant de P, c'est-à-dire de la loi inconnue de probabilité, des habitudes inconnues du joueur.

^7. M. Carlan a introduit dans la théorie des nombres

3o4 CHAPITRB XVI.

complexes la notion de l'équation caractéristique. Soient A un nombre complexe donné, X un nombre complexe inconnu, w un nombre ordinaire inconnu; considérons l'équation

(2) AX=:wX.

Les deux membres sont des nombres complexes, et en égalant les coefficients de eo,e,, ...,€„ on aura r-\- i équations entre les /• 4- 1 coefficients x, du nombre complexe inconnu X ; ces équations sont linéaires d'une part par rapport aux j^,, et d'autre part par rapport à w et aux r •+■ i coefficienls o/ du nombre A. Nous avons donc r -+- 1 équations linéaires par rapport aux /■ + i inconnues x,-. Écrivons que le déterminant A de ces équations est nul; nous aurons une équation algébrique d'ordre /• -f- i qui déterminera co. D'après le théorème des substitutions-linéaires, à chaque racine simple de celte équation A r=o, correspondra un nombre complexe X satisfaisant à (2). A une racine double correspondront deux nombres complexes X et Xi, tels que

{2 bis) AX=wX, AX,^ wX, H- 6,X.

A une racine triple, trois nombres X, Xj, Xj, tels que

{2 ter) AX = wX, AXi = c.)X,-i-eiX, AXî='a)X,-i-£2X,,

et ainsi de suite; le&£ sont des nombres constants ordinaires qu'on peut supposer égaux à o ou à i. Remarquons que, si £, = £t=:o, on aura

A(XX + X,X,-+-X,XO = w(>X-i-X,X,-t->,X,)

quelles que soient les constantes X, X,, X, (qui sont, bien entendu, des nombres ordinaires).

Dans le cas des nombres complexes dérivés des groupes,

QUESTIONS DIVERSES. 3o5

il y a quelques siinpliflcalions. Soit X un nombre complexe quelconque et posons

ei\ = \ — lyjej\

on voit tout de suite que les/ ne sont autre chose que Ici s rangés dans un ordre différent. 11 en est de même al l'on pose Xe, = Y; on a d'ailleurs

^Q JV \. €q Z 1 \, ^

de sorte que l'équation (2) peut s'écrire (A — coeo)X = 0.

228. Je forme l'équation caractérislique du nombre I* PX = coX

et je me propose de montrer d'abord qu'elle a une racine égale à c, et toutes les autres plus petites que i en valeur absolue.

Soit en effet

on aura

les indices i, k el h étant liés par la relation eyi.e/,i=e/, de sorte que, si j'écris

les Pm ne seront autre chose que les p^ dans un autre ordre. L'équation (2) nous donnera alors

(3) 2/>/,.,^/,= war,.

Nous pourrons satisfaire à ces équations (3) en prenant P. 20

3o6 CHAPITRE XVI.

lous les Xi égaux entre eux, d'où nous déduirons Mais

d'où w — I ; ce qui montre d'abord qu'il y a une racine égale à I.

En ce qui concerne les autres racines, les équations (3) nous donneront

(4) ^\ph.iXh\^\(uXi\

ou, puisque lous les/» sont réels et positifs,

^Ph.i\^lA=\^\\^i^\'

Ajoutons toutes ces inégalités; il viendra

-/2/,/>/,./|x,,|>|a)|2Jx,|.

Mais Donc d'où d'où

'^iPh.i —

^i'^hPh.i\^h\='S'\iCH\,

ou.

Ainsi aucune racine ne pent être plus grande que i en valeur absolue.

229. Soit (i) une racine différente de i ; considérons un nombre complexe appartenant à celle racine w, c'est-à-dire, d'après la phraséologie adoptée par M. Carlan, un des

QUR9TION8 DIVERSES. io'/

nombres X, X|, ..., tels que

PX = (.)X. PX,= a)X,-hE,X, je dis que, pour tous ces nombres complexes,

iaTjrr: o.

En effet, remplaçons dans tous nos nombres complexes toutes les unités complexes e. par l'unité ordinaire; les égalités qui pe4ivent exister entre ces nombres complexes subsisteront. Si l'on a

P = lp(e,, X = lx(ei, \t = la:)ei,

ces nombres complexes après la substitution devieiidi'ont respectivement

Ipi—i, la^i, la;}, et nos égalités deviendront

lXi:=(t)lXi, Ixj =z(ùlx} -h tilx,-,

et par conséquent, si w n'est pas égal à i,

ij?/^=0, lx}=:0.

230. Nous avons dit qu'il y a une racine égale à i ; il reste à savoir s'il ne peut pas y avoir plusieurs racines dont le module soit égal à i, ou encore si i n'est pas racine multiple. Pour que l'inégalité (4) se réduise à une égalité, il faut que tous les Xi aient même module, et, comme ces Xi ne sont déterminés que par leurs rapports, nous pouvons supposer qu'ils sont tous réels et positifs. Comme les/> sont tous réels et posilifs, il en sera de même de w, c'est-à-dire que nous aurons

Soit alors Xj le plus grand de tous les xi\ nous aurons

cette inégalité ne pouvant se réduire à une égalité que si tous les/>/,y sont nuls, sauf ceux qui multiplient un x^ égal à xj. Mais l'équalion (3) nous donne

^Ph.j Xu = '^Xj— Xj.

Nous devons donc conclure que

pu.j=o si Xu<Xj,

ce qui nous montre déjà que, si aucun des />/ et par conséquent aucun des p,,j n'est nul, tous les Xi seront égaux.

Nous dirons que la permutation Sj appartient à la catégorie C, si Xi est égal à xj, c'est-à-dire au plus grand des x.

Je dirai d'autre part que la substitution Sa appartient à l'ensemble E si, toutes les fois que Sy appartient à la catégorie C, il en est de même de

s,.= Sir>Sy.

La condition nécessaire pour que pi^z=ip,^j puisse ne pas être nul, c'est alors qge S/,- appartienne à l'ensemble E.

Je (lis maintenant que l'ensemble E constitue un sousgroupe de G. Si en effet S^ et S^. appartiennent à cet ensemble, cela veut dire que Sy ne peut appartenir à C sans (|u'il en soit de même de SA-~'Sy et de Se~'Sy. Mais alors il devra en être de même de

S/7'(S-'Sy) = (S,SA)-'Sy,

ce qui veut dire que S^Sa appartiendra aussi à C.

Donc la circonstance qui nous occupe ne pourra se présenter (juc si tous les pi; sont nuls, sauf ceux qui corres-

QUESTIONS DIVERSES. SOQ

pondent aux permutations d'un certain sous-groupe, c'està-dire si l'on sait d'avance que le joueur en battant les cartes n'exécutera jamais que des permutations appartenant à ce sous-groupe.

Si on laisse décote ce cas d'exception unique, l'équation

P\=zX

ne peut être satisfaite que si tous les jt, sont égaux entre eux.

231. Une possibilité subsisterait encore ; on pourrait supposer qu'il existe un nombre complexe Xi tel que

(5) PX,=rX,-}-e.X, e,>o,

et que la racine i est multiple. Mais de l'équation (i) on déduit

PtXt=X,+ «£,X.

Les coefficients de X, et de eiX ne dépendent pas de n; ceux de P" dépendent de n, mais ils restent réels et positifs, et leur somme demeure égale à i; puisque P" représente symboliquement la loi des probabilités après n coups.

Les co«îfficients de P'*X restent donc limités. Au contraire, ceux dcX,4-/i£'iX sont des polynômes du i" degré en n; ils ne peuvent donc être limités; l'équation (5) est donc impossible.

Si nous reprenons l'équation de la forme

PX = wX,

nous avons vu que &> est donné par une équation d'ordre r -I- i; et qu'à une racine d'ordre de multiplicité |ji, appar-

3io ciiAPirnET XVI.

tiennent [i nombres complexes distincts. La somme des ordres de multiplicité étant r-f- 1, il y aura r-f-i nombres complexes appartenant aux diverses racines, et ils seront linéairement indépendants. Un nombre complexe quelconque peut donc être considéré comme une combinaison linéaire de ceux qui appartiennent aux diverses racines.

Dans le cas qui nous occupe, un seul nombre ap()artient à la racine i, c'est

tous les autres appartiennent à des racines < i en val<^ur absolue, et la somme des coefficients de cbacun de ces nombres complexes est nulle. Il résulte de là que tout nombre complexe, tel que la somme de ses coafjtcients soit nullCy peut être regardé comme une comhinaisan linéaire lies nombres complexes qui appartiennent aux racines <; ! en valeur absolue.

-232. Considérons maintenant une racine u> lelle que I (i) I < i; nous aurons, si celle racine est multiple,

PX:=a.X, PX,=:wX,-f-e,X, P \,=: a)X, + £, X,, .... et nous en déduirons aisément

f.ortime w", «&)""', &>"--,... tendent vci s zéro quand

n croît iiidéHniment, on voit que, pour un nombre complexe X. quelconque appartenant à une racine <i en valeur absolue, on a

limP^X — o (/i -30).

QUESTIONS DIVERSES. 3ll

Mais toul nombre complexe est une combinaison de ceux qui appartiennent aux racines < i , pourvu que la somme de ses coefficients soit égale à zéro.

On aura donc encore

limP''X=:o

toutes les fois que la somme des coeflicienls de X ser;'. nulle.

Si au contraire X appartient à la racine i, c'est-à-dire si tous ses coefficients sont égaux entre eux, on aura

Si X est un nombre complexe quelconque, nous pourrotr poser

X = SXo-4-X',

où S est la somme des coefficients de X, où

Xc= — — -(eo-l-e,-t-...-+-e,.) r -j- I

et où la somme des coefficients de X' est nulle. On aura alors

limP^X^SX».

Remarquons maintenant que On aui'a en effet

X=:2Xie,, Xo= ^ ; — »

OÙ l'on a posé x^j = xi en admettant ejei := e^. ou bien

Mais les Xk.j qui figurent sous le signe 2y sont, dans un ordre différent, les xi eux-mêmes, c'est-à-dire que

d'où finalement

lim(P«-Xo)X =o.

Mais X est un nombre complexe quelconque; nous pouvons donc prendre X ■= eo, d'où

( P"— X„) X = (P« - Xo) e,z^ P"— Xo.

Il reste donc

limP" = Xo,

ce qui veut dire qu'à la limite, toutes les probabilités, c'està-dire tous les coefficients du nombre complexe P" qui représente symboliquement la loi de probabilité, sont égaux. C'est ce que nous nous étions proposé de démontrer.

Je renverrai ù quelques-uns des ouvrages où il est traité des nombres complexes et de leurs rapports avec les groupes. .Te citerai en première ligne les travaux de M. Frobenius publiés dans les Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin de 1896 à 1901, et ensuite un mémoire tie M. Carlan Sur les groupes bitinéaires et les systèmes de nombres complexes {Annales de la Faculté de Toulouse, t. XII). Je me suis moimême occupé de la question, et je me suis en pariiculier efforcé de rapprocher les résultats présentés par ces deux

QUESTIONS DIYERSES. 3l3

savants éminents sous des formes très différentes à l'occasion d'une élude Sur l'intégration algébrique des équations linéaires, insérée dans le Journal de Liouville, 5" série, t. IX.

233. Répartition des décimales dans une table numérique. — Supposons qu'on prenne dans une table de logarithmes un grand nombre de logarithmes consécutifs et que l'on considère la troisième décimale par exemple. On verra que les dixchiiïres o, 1,2, 3, ..., 9 sont également répartis sur cette liste; et par conséquent la probabilité pour que cette troisième décimale soit paire est égale à - • Un instinct invincible porte à le penser, et d'ailleurs on peut le vérifier a posteriori. Y-a-t-il moyen de rendre compte de ce fait?

Envisageons les nombres

log(

OÙ nous donnerons à x toutes les valeurs entières depuis i jusqu'à 100000. Considérons la fonction

F {y) étant une fonction qui est égale à 4- 1, si la troisième décimale dey estpaire,età — i, si cette décimale cslimpaire. Je me propose de démontrer que la valeur moyenne de F (y) est nulle ou très petite.

D'après la définition de F (y), on a

ce qui montre que F {y) est une fonction périodique de

'il 4 CHAPIIAE XVI.

période - — : ii en esl de même de

DOO

siii(iooo7:^),

fonction que nous envisagerons d'abord. Nous devons donc évaluer la somme

s rr > 7 sin iooot: log ( i -\ )

lOOOO-^taJ L \ JOOOOO/

Remplaçons-la parl'inlégraie.

J =. -■ — / sin iooot: log ( i h '■ ) dx.

loooo J, L \ looooo/J

Évaluons d'abord la différence S — J; nous nous appuierons sur la formule deTa^lor

9)(n-+-/i) = (?(/i)-f-^?'(/î)H (o'in-^Bh) (o<9<i)

d'où

où 0' esl compris entre — i et 4-1, où M est le maximum de |o" (x)| dans rintervalle considéré. Si nous prenons

o(j7) =r sin I 1000 TT log ( I -\ ) »

et que nous fassions /i= 1, 2, ..., looooet que nous ajoutions; il viendra

J-S= î — iô'M.

OVKSTION.S DtVKRSKS. 5|5

Qu'est-ce que M? Posons pour abréger

looo

TT lOg ( » 'H ' ) = J ;

il viendra

o (.r) =1.- loooTT cosy,