COS Y

— lOOOTT

d'où

■vr,,%r 10000

iOOO

Évaluons maintenant la limite supérieure de J. Posons

Z =: > a = 10007:, « rr: l02:(H- ^),

lOOOOO ov '

d'où

,] z= fo I sina« (Iz =: 10 I s'iuait e" du.

L'intégration par parties me donne

J cos„.. ^ . ^v,o^^

— h / e" du.

sa// tf" r ' cosa// h / e"

.! ! e«.-4-e". r"'e"du 10 oc J a

I t (XUHi

3l6 ' CHAPITHE XVI.

Donc

IJI<-^^<— .

• ' lOOTï lOO

ou, en comparant avec la limite J — S |,

•|si<~.

234.. La démonstration a été donnée sur un exemple très particulier, mais il est aisé d'en apercevoir le véritable sens et par conséquent la portée générale.

On s'est appuyé en réalité sur trois faits :

1° Les dérivées successives du logarithme restent finies dans l'intervalle considéré;

2» Le nombre a = loooTrest très grand;

3" Bien que grand d'une manière absolue, il est très petit par rapport au nombre looooo qui figure au dénominateur dans l'expression

log(

I oo ooo /

On voit que ces mêmes circonstances se reproduiront dans un grand nombre de cas analogues, et que les mêmes raisonnements seront applicables à toutes les fonctions continues. Soit plus généralement, à évaluer la somme

où a est un très grand nombre, F une fonction périodique limitée; S un nombre très petit et tel que «(3 soit lui-même très petit, et où l'on donne à x toutes les valeurs entières depuis I jusqu'à -s' Nous comparerons celte somme à l'intégrale

]^j¥[ao{z)\dz.

QUESTIONS DIVERSES. ilj

Il viendra comme plus haut

M élant le maximum de la dérivée seconde de F [xcp((3x)] par rapport à jc; or celle dérivée seconde est égale à

les lettres accentuées désignant les dérivées de F et <p par rapport à leurs arguments respectifs a<]9 et ^a:. On voit que, si ces dérivées sont limitées, J — S est de l'ordre de (a^)'. Soil maintenant O (m) la fonction primitive de F («) dételle sorte que

l'intégration par parties nous donnera

ce qui montre que J est de l'ordre - • 11 suffit donc, pour que

notre raisonnement soit applicable, ue - et (a|3)* soient très petits.

233. Deux difficultés subsistent encore cependant. Le résultat n'est-t-il pas vrai alors même que a(3 n'est pas très petit,

pourvu que (3 ot — le soient. Supposons qu'au lieu déraisonner sur la troisième décimale d'une table à 5 décimales, nous ayons raisonné sur la cinquième, au lieu de prendre

^ lOOOOO

3l8 «,HAI»ITRK XVI.

nous aurions dû prendre

a ::;; 100 000 7T, 3 rr

lOOOOO

ol a(3 n'aurait plus été très petil. El cependant l'instinct, qui nous pousse à croire que la iroisiènie décimale doit être uniformément répartie, est aussi puissant en ce qui concerne la cin(|uiéine.

En ce qui concerne l'évaluation de J, il ne peut y avoir de difficulté même si «(3 n'eslpas très petit; on n'aurait donc à s'occuper que de la différence J — S. D'autre part, la fonction périodique F que nous avions définie au début de celle élude elqui s'introduit quand on veut étudier la répartition des décimales dans une table de logarithmes, celle fonction à laquelle nous avions substitué un sinus pour faciliter le calcul, était égale à ±1 suivant qu'un certain chiffre était pair ou impair. C'était donc une fonction discontinue, et nous ne pouvons nous appuyer, dans le calcul de J — S sur ce fait que ses dérivées sont limitées.

On pourrait, il est vrai, développer celte fonction périodique F en série de Fourier, et l'on serait ramené à des sinus auxquels on pourrait chercher à appliquer ce qui précède; mais pour les termes d'ordre élevé de celle série, le nombre a serait 1res j^rand et le produit aj3 ne serait pas très petit; on retomberait donc sur la première difficulté.

230. Force est donc de recourir à d'autres considérations. Soit F(j7)une fonction dont les dérivées sont limitées. Formons une tableoù nousdonneronsù jr.loulcs les valeurs mul-

riples de Est-il possible que dans celte table la cin-

quième décimale soil toujours égale à o? On aurait alors

\?oooo/ 100

QUESTIONS DIVERSES. 3ig

OÙ V et n sont des entiers et e < Nous nous appuie-

JOOOOO

rons sur la fornuie connue

F(^ 4- a A) -+- F(-r) - 2F( or -f- A) = /i'F'(x -+- a9A) (o<0<i).

Donnons à x une valeur multiple tle ^^^^^ et faisons

lOOOO

Soienl n, et £,, /ij et £î, /ijCle, les valeurs de /* et £ correspondant à a-, a; -h/*, X -H 2 /i; il viendra

Asp— î î î + s, 4- £3— 2£j.

Comme £ est plus petit que nous pourrons poser

n,4- n, — 3n2t=N, d'où

Si F" qui est limité n'est pas de Tordre de loooo, il faut

que N = o; ou

c'esl-à-dire que les entiers n, ou encore les nombres qui figurent dans notre table, soient représentés par un polynôme du I" degré; ou encore que les différences secondes de notre table soient toutes nulles. Cela n'est évidemment qu'un cas très particulier, et, pour la plupart des fonctions, on pourra affirmer que cela n'a pas lieu.

320 CHAPITRB XVI.

On voit par là, sans que j'insiste davantage, sur quelles bases on pourrait appuyer une théorie de la probabilité de la répartition des décimales dans une table numérique.

237. Mélange des liquides. — Je ne dirai que quelques mots d'une autre question dont l'importance est très grande, mais que je ne suis pas en mesure de résoudre. Considérons un liquide enfermé dans un vase qu'il remplit entièrement. Les molécules de ce liquide sont en mouvement permanent; les lois de ce mouvement sont connues, et elles s'expriment par des équations différentielles que je considère comme données. Soient x^ y y z les coordonnées d'une molécule; on aura pour les composantes de sa vitesse

rfF-^' rf?-^' di-^-

Si le mouvement est permanent, X, Y, Z sont des fonctions des coordonnées x, /, « indépendantes du temps t, et je suppose que ces fonctions soient données. Le liquide étant incompressible, on aura la relation

d\ dY dZ dx dy dz

Si l'équation de la paroi du vase est

on aura en tous les points de cette paroi la relation

dx dy dz

qui exprime que la composante normale de la vitesse est nulle.

QUESTIONS DtVERSRS. 32 1

Cela po!?e, j'imagine que certaines molécules du liquide se distinguent des autics par quelque qualité af)parente, qu'elles soient de couleur rose par exemple, tandis que ioi autres sont incolores; mais qu'elles obéissent d'ailleurs à la même loi de mouvement.

Au temps / = o, elles sont distribuées d'une manière quelconque dans le vase; l'expérience courante nous aporend qu'au bout d'un certain temps elles seront entièrement mélangées avec les autres; elles seront uniformément répandues dans le vase.

Considérons un volume v intérieur au vase; quelle est, h un instant quelconque, la quantité de liquide rose qui y est contenue, ou, si l'on aime mieux, quelle est la probabilité P pour qu'une molécule prise au hasard dans cette région soit rose ? Si la répartition est uniforme, cette probabilité sera une constante, quel (jue soit le volume v choisi à l'intérieur du vase.

Si l'on envisage deux volumes Vf et fj pour lesquels cette probabilité soit P, et Pj, et qu'on appelle P la probabilité relative au volume total t'i -+- Pj, on aura évidemment

P(f, -+- i'î) = P,t-,-+- Pjfj, et nous pourrons écrire, pour un volume quelconque, Pi'= I p ch,

où l'intégration est étendue à tous les éléments dz du volume V et où/? est la probabilité relative au volume d-c.

Cette probabilité/) est une fonction de ^,7, z, t déHniç par l'équation

^^X^-hY^+Z^:=0.

dt dx dy dz

322 CHAPITRB XVI.

Considérons alors deux volumes quelconques i> et y', el les probabililés correspondantes P et P'; peut-on admettre que, quelle que soit la distribution initiale du liquide, c'est-

P' à-dire la valeur de p pour / = o, le rapport -rj^ tendra vers i

quand t croîtra indéûniment, et cela d'autant plus vite que les deux volumes ç el v' seront plus grands et d'une forme plus simple?

Si nous ne pouvons admettre cela, pouvons-nous admettre au moins que le rapport

Pdt

V'dt

tend vers i quand T croîl indéfiniment?

238. Telle est la question qui se pose et qui n'est pas encore résolue; je voudrais expliquer en quelques mots ce qui en fait l'importance. Imaginons un système mécanique de situation définie par n coordonnées gi, 7,, ...,<7„; son mouvement satisfera aux équations de Hamilton,

âçi dp dfi dV

dt dpi dt dq^

T est l'énergie cinétique, U l'énergie potentielle,

F = T -+- U l'énergie totale, et l'on a /?, = -7-7 • Considérons

7i» 72. • • • 1 9n'i P\t P\i • • • » Pn comme les coordonnées d'un point dans l'espace à 2 n dimensions. Écrivons les équations de Hamilton sous la forme

^-O — fîl "ki—v - - —

dt ~^'~ dpi' dl — ''- dqi

QUESTIONS DIVERSES. 3a3

Ces équations seront de même forme que celles du mouvement de notre liquide, car elles satisferont à la condition

dqi ^ dp

analogue à la condition d'incompressibilité. Nous avons donc, pour ainsi dire, à étudier le mouvement d'un liquide dans un. vase à 2 n dimensions. Quelle que soit la probabilité de telle ou telle situation du système à Tinstanl zéro, n'allons-nous pas avoir une probabilité uniforme pour cette situation à l'instant t, pourvu que t soit assez grand?

C'est là ce qu'on postule dans la théorie cinétique des ga/., el en particulier quand on veut établir le théorème de Boltzmann^Maxwell. Il y aurait donc un grand intérêt à justifier ce postulat.