PRI.K'CF

les uns (les autres, en se groupant autour diiii point central, autour (lu hut lui-nirMiie. si les erreurs conslantes sont écartées.

Un savant professeur, M, Jaulïrel, a délini, par une image fort nette, les lois de distribution des coups, identiques, d'après le théorème de liernouiii, à celles des probabilités. Si, visant pendant un long temps ini même but placé sur le sol, on arrête chaque boulet au point même de sa chule, l'amas des projectiles présentera l'aspect d'une cloche dont la base circulaire aurait le but pour centre; un tireur plus adroit rétrécirait la cloche et la rendrait plus haute; une moindre précision donnerait naissance à un solide moins élevé, s'abaissant plus lentement vers le sol.

N'est-il pas merveilleux et prescpie incrovable qu'on puisse, par le raisonnement seul, prédire ainsi la disposition des boulets sans connaître l'adresse du pointeur ni demander la |)récision de l'arme?

Les formules, a dit Poinsot, ne donnent que ce qu'on v a mis. Aucun raisonnement ne fait davantage; le dernier anneau d'une chaîne de déductions est, pour qui sait l'y voir, tout entier dans les hvpothèses. Nous avons expressément supposé, il ne faut pas l'oublier, cpi'il n'existe dans l'arme ni dans la maladresse du pointeur aucune cause d'erreui' constante; il n'y a donc pas plus de chance, c'est l'hypothèse même, de tirer à droite plutôt qu'à gauche, trop près plut(*)t que trop loin. Faut-il s'étonner ([ue le but se trouve au centre des divers points atteints dans une longue série d'épreuves? Si plus de la moitié se trouvait à droite, on en conclurait qu'une cause les \ porte, et ce serait une erreur constante.

Un doute peut s'élever encore. Les erreurs constantes sont celles que l'on peut corriger, la maladresse est une

LES LOIS DU ii\s\r,n.

cause forliiile, un lircur maladroit atteint bien rarement le but: au lieu de le cacher sous le sommet d'un dôme de projectiles, ne le laisserait-il pas au centre d'un i,M'and vide? Diogène pensait ainsi : u Un jour, voulant s'esbattrc, il visita les archers qui tiroient à la butte; entre iceux, un ctoit tant faulier, iinj)érit et maladroit, que lorsqu'il estoit en ranc de tirer, tout le peuple spectateur s'escartoit de peur d'être par lui féru. Diogènes l'avoit un coup vu si perversement tirer, que la Ucsche tomba plus d'un trabut loin'dc la butte; au second coup, le peuple, loin de côté et d'autre, s'escartant, il accourut et se tint en pied, jouxte le blanc, affirmant cetuy lieu être le plus sûr et que l'archer fériroit tout autre lieu, le blanc seul être en seureté detraict. » La plaisanterie fît rire. Il n'aurait pas fallu recommencer souvent; les gouttes d'eau, guidées par le hasard, n'épargnent à la longue aucun pavé. Pourquoi les projectiles, non moins nombreux, c'est l'hvpothèse, éviteraient-ils le point vers lequel, adroitement ou non, on s'étudie à les dirii^er tous ?

Dans la formule de probabilité des erreurs, la rigueur, nous l'avons avoué, n'a pas été mise; l'axiome supposé est loin d'être évident; les conséquences sont comme lui discutables.

Dans les concours de tir à la carabine, chaque tireur ayant droit à un certain nombre de balles, on décide du mérite de chacun par la distance movenne de ses balles au but. La théorie consultée prescrirait une autre règle : la plus petite moyenne du carré des écarts caractérise mieux le plus adroit. La décision, je crois, a été prise pour l'armée belge. Le changement est de petite conséquence, et sur un grand nombre d'épreuves toutes les méthodes s'accorderaient; toutes deux, la seconde surtout, traitent trop sévèrement le tireur, si adroit qu'il se soit montré, dont un coup s'est égaré des autres. Supposons, pour donner des chiffres simples.

qu'un tireur ayant placé ncuH)allcs à la distance movenno i du hut. la dixième s'en écarte à la distance lo. D'après la première rèi^le, la moyenne i^énérale étant 1,9, il sera prétéré à celui dont toutes les balles seraient à la distance 2; cela j)araU ju>le. La seconde règle, celle (pii s'ap|)uie sur la loi de probabilité des écarts, placerait a^an( lui le lireiu" dont toutes les balles seraient à la distance 3. Peut-être vaudrait-il mieux, sans tant rafllner, s'en tenir à la vieille méthode, qui réserve le prix à qui le plus souvent touche la mouche, sans rechercher l'écart des balles moins heureuses.

La formule de Gauss déclare, poui* ainsi j)arl('r, certains cas impossibles. N'invite-t-elle pas par là, quand ils se présentent, à se défier un peu d'elle? Les cas exceptionnels échappent à toute règle. Le bon sens ne perd jamais ses droits : o|)poser à l'évidence une formule démontrée, c'est à peu près comme si, j)our refuser à un homme h- droit de vivre, on alléguait devant lui un acte de décès authentique.

La moyenne d'un grand nombre de mesures, quand on écarte les erreurs constantes, est une mesure j)lus j)récise que celles qui l'ont fournie; l'erreur probable est diminuée, et la précision augmente comme la racine carrée du nombre des épreuves.

Fourier connaissait ou soupçonnait cette règle : pour prendre la hauteur de la pyramide de Chéops, il fit simplement mesurer par des soldats les 2o3 marches de ce gigantesque escalier. « Vos hommes manquent d'habitude, disaiton; les surfaces sont irrégulières, les arêtes inclinées; aucune précision n'est possible, et l'erreur commise sur chaque marche sera multipliée j)ar 2o3. — Elle le sera par 1 4 seulement, répondit-il résolument, car \f\ est la racine carrée de 2o3. » La comparaison avec une mesure plus exacte aurait pu le contredire; on ne la fit pas.

LIS LOIS 1)1 n\s\i;n.

Entre les grandeurs inconnues enchaînées par les formules, la Science, dans clia(|iie problème, choisit pour la déterminer directement la plus accessible aux mesures. Pour |)escr l'obélisque, il n'existe pas de balance; une chaîne d'arpenteur donnerait très lentement et très mal la dislance de Paris à Rome. La théorie fournit des équations, on les accepte toutes, chacune est irréprochable, l'Algèbre dégage les inconnues; les chiffres malheureusement se contredisent toujours. Que doit-on faire? Entre des mesures discordantes, on prend la moyenne; pour des équations, ce mot n'a pas «lesens; à chacune, cependant, il faut un rôle; la méthode des moindres carrés enseigne et prescrit la meilleure combinaison.

Cette méthode, inventée par Gauss, proposée pour la première fois par Legcndre, a procuré plus d'une déception.

La masse de Jupiter, déduite par Ne^^ton de l'étude des satellites, corrigée peu à peu par les progrès des observateurs, calculée de nouveau |)ar Bouvard à l'aide des perturbations de Saturne, semblait fixée à —^ de celle du Soleil. Les principes du calcul des chances permettaient de parier, suivant Laplace, 999308 contre i que l'erreur n'est pas la centième partie de la valeur trouvée. Quelle ostentation de consciencieux savoir! C'est 999308*^'', ni plus ni moins, que l'on peut risquer contre i*^'. On aurait eu tort de risquer dix sous; on les aurait perdus; les perturbations de Junon l'ont prouvé. Sans contester ce témoignage irréprochable de la petite planète, Poisson maintenait les principes. « Les calculs de Laplace, dit-il, ont donné, avec une précision voisine de la certitude, une masse plus petite qu'elle n'est réellement. Cela ne provient d'aucune inexactitude dans les formules dont il a fait usage ; il y a lieu de croire que la masse de Jupiter, un peu trop petite, résulte de quelques termes fautifs dans l'expression

tlos pcrlurhations. » Poinsol, son spirituel advorsairo, pour transformer l'apologie en c|)igraninu\ ne change rien an trait (pie l'accent : « Après avoir calculé la probabilité d'une erreur, il faudrait calculer la probabilité d'une erreur dans le calcul. »

PeuL-on, par des combinaisons habiles, s'assurer sur les résultats d'observations imparfaites, puisées à des sources douteuses? On le |ieut, répond la théorie, pounn qu'on n'ait pas à craindre d'erreurs constantes. Le calcul échouera, ré- [)ond le bon sens. Les (leu\ réponses sont d'accord.

I^orsqu'en 1761, après soixante-dix anné'.^s d'attente, les astronomes de tous les pavs distribuèrent sur la portion du globe désignée par Halley plus de cent observateurs du passage de Vénus, — lacraintedu mauvais temps et l'émulation (.lu zèle pour la Science en accrurent ainsi le nombre, — on croyait la méthode infaillible, et deux observateurs soigneux, Ilalley l'avait prouvé, pouvaient sans aucun associé donner la parallaxe exacte au centième de seconde. Go observations, au lieu de 1, faisaient espérer par leurs combinaisons 1770 déterminations identiques. La déception fut grande; les résultats variaient entre 7" et 1 1". En combinant i5 observations européennes avec celle du Cap de Bonne- Espérance, Short trouva une movenne de 8",/|7. L'observation de Tobolsk, combinée avec i5 autres, donnait 9", 56; en en supprimant \, il restait 8",C)Q. Ces 4 f^^^" servations, 2 de Stockholm et 2 de Tornéa, comparées à celle de Tobolsk, auraient donné jdus de 11". L'opération était à refaire. Rien ne fut épargné en 1709, le succès (ut j)areil. En combinant les observations sans règle et sans méthode, les calculateurs du xvni*^ siècle n'en piu'ont montrer que l'incertitude. Encke, en 1822, voulut reprendre dans leur ensemble les résultats des deux exj)éditions, et,

l.KS LOIS II) Il \S AI! 11.

par iiii pi'ocligieiix tia\ail, aj)j)li([uaiil dans toutes ses prescriptions la méthotle des moindres carrés, il ohtiiit 8", j'^yG. I/erreiir probable était o",o37o.

dette expression iV erreur probable exii^ie une explication : l'erreur probable est celle qu'il y a chance égale d'atteindre ou de ne pas atteindre ; de celle-là, nous l'avons dit, on déduit toutes les autres. Contre luic erreur huit fois plus grande il n'y a pas, dit la théorie, i chance sur i million. C'est justement celle-là qui s'est produite. La ])arallaxe, aujourd'hui bien connue, surpasse le résultat d'Encke de iuiit lois son erreur j)robable. Tous ces calculs devaient être stériles, rien ne garantissait contre les causes constantes, et le nombre des observations douteuses n'était pas assez grand pour assurer une compensation.

Tout semblait débattu sur les universaux, et tout oublié. M. Quetelet, sans réveiller ce vieux problème, a cru sériciisement le résoudre, et, dans un livre riche de faits judicieusement recueillis, a voulu définir et préciser le mot homme indépendamment des hommes particuliers considérés comme accidents. Sans discussions ni subtilités, le patient auteur attribue à son type, par définition, la moyenne de chaque élément variable d'un homme à l'autre. En relevant, par exemple, les tailles de 20000 soldats, on a trouvé pour moyenne i'",7j ; telle est la taille de l'homme moyen ; autour d'elle, dans la série des mesures, se groupent les tailles plus grandes ou plus petites, exactement graduées suivant la loi des écarts. Rien ne distingue les tailles des conscrits des mesures qu'un observateur très maladroit aurait prises 20000 fois de suite sur un même homme de i"',75, avec

XLII Pur.FAr.K,

lies instriimoiits hicn grossiers, il faiil le supposer, mais eorrii^és de loiile erreur constante.

M. Quelelet, dans ce rapprochement, voit une idenlilé; nos tailles inégales sont pour lui le résultat des mesures très mal prises par la nature sur un modèle immuable, «pii, seul, révèle tout son savoir. i"',7') est la taille normale; pour avoir un peu plus, on n'en est pas moins homme, mais ce qui maïKpie ou dépasse pour chacun est erreur de nature c\ monstruosité.

Abailard, si habile à raisonner des choses, aurait réduit l'argument en forme, mais on ne remue plus de telles subtilités. iM. Quetelet, sur ce vieux champ de bataille des écoles, n'a rencontré ni défenseurs ni adversaires.

La thèse a cependant plus d'un inconvénient. L'homme idéal, dit-on, représente en toute chose la moyenne de l'humanité. Cela paraît très simple et très clair, mais ces détails, définis par règle et par compas, comment s'ajustent-ils? La hauteur de la tète, par exemple, pourra, jiour l'homme moyen, se calculer par deux méthodes : on |)eut prendre la movenne des longueurs, ou, pour chaque individu, le rapport de la tête à la hauteur du corps, puis la moyenne de ces rapports. Les résultats sont différents : comment les accorder ?

Grave difficulté et inévitable écueil ! Pour le montrer avec évidence, cherchons entre deux sphères la sphère moyenne; l'une a pour rayon i ; nous choisirons les unités de manière à représenter également la surface et le volume par i. La seconde sphère a, je suppose, pour rayon 3, pour surface 9 et pour volume 27 ; ces chiffres sont forcés. Les moyennes 2, 5 et l 'i sont incompatibles ; une sj)hère de rayon 2 aurait pour surface 4 et pour volume 8 très exactement; aucune concession n'est possible, nulle sphère n'est difforme. L n