V. 77 R- ( I — cos y
Le rappoil de la surface de celte zone à celle de la demisphère est
La probabililé est donc 0,29.
Celle question, comme la précédente, est mal posée et les deux réponses contradictoires en sont la preuve.
7. On fixe au hasard deux points sur la surface d'une sphère; quelle est la probabilité pour que leur dislance soit inférieure
Le premier point peut être supposé connu, la position qu'il occupe, quelle qu'elle soit, ne change rien à la probabilité cherchée.
Le grand cercle qui réunit les deux poinis peut être également supposé connu, les chances possibles sont les mêmes dans toutes les directions. SI l'on partage ce cercle en ;>. iGoarcs de 10', de manière que le point commun soit un point de division, les points situés dans les deux arcs séparés jiar le point donné remplissent seuls la condition demandée : la probabilité est dune .7^ = Tihâ'
(FIAI-. I. — KNU.MKHATIO.N DKS C1I\>CES. ^
On peut dire aussi : le premier point étant eonnii, |)Oiir que le second soit à une dislance moindre f[ue lo', il faut (pi'ii soit situé dans une zone dont la surface est
î - 11- siii- V - 'i T. I{'- sin- — '■^—
Le ra[)port de la surface de cette zone à celle de la splière est
o,oooooi'>.3o8 —
plus de deuK cents fois plus petite «]uc Y>)>i>r
Les probabilités relatives à la distribution des étoiles, en les supposant semées au hasard sur la splière céleste, sont impossibles à assi<^ner si la rpicstion n'est pas précisée davantage.
8. L'application directe de la délinilion, lorsque les cas possibles sont en nombre déterminé et d'égale vraisemblance, est souvent, au contraire, un problème facile ap[)artenant à la lliéoric des combinaisons.
Problème L — On jelte une pièce de monnaie n fois de suite. Quelle est la probabilité pour que pile et face se succèdent dans un ordre assigné?
Pile et face, à chaque épreuve, sont également possibles. Toutes les successions présentent des chances égales. Leur nombre, pour n épreuves, est 2", car chaque jet nouveau présente deux cas possibles qui, l'un et l'autre, peuvent s'associer à chacune des combinaisons précédentes, dont le nombre est par conséquent doublé. Parmi ces 2" combinaisons, une seule est demandée. La probabilité est— ■ L'arris de face ou de pile est prise ici comme le
tvpe d'un événement dont la probabilité est r,-
La probabilité de voir, à la roulette, la rouge et la noire se succéder dans un ordre assigné serait exactement la même.
Quelle est, par exemple, la probabilité pour que, l.i rouge se
8 CVLCIL DES PnOBABILITÉS.
iiioiilranl an |iremicr coup, la ooiilciir ( liangc sans inlorrnplion à ( liacnn des •>(> conps suivants?
La j>r()l)al)ilit('' est
— -- (), ( looooooooo'j 1 33 .
La probal)ililc poiii- cpic. pc lulanl K's trente premiers coups, la rouge et la noire se succrdenl sans (juc la nirine couleur sorte deux fois de suite est double de la précédenle. La suite alternée peut coninieiiccr par rr^iii^e on par noire. Cela fait deux cas possibles.
t>. Problème IL — Quelle est la probabilitr pour obtenir (i\ec un (Ir à sLv fuces n fois de suite le point .'V?
A chaque jet, six cas sont possibles et peuvent s'adjoindre à chacune des combinaisons précédentes, dont le nombre est ainsi sextuplé. Le nombre des combinaisons possibles sur n épreuves est
donc (3"; une seule est demandée, elle a [)our probabilité jr^-
10. Problème IIL — Quelle est la probabilité pour amener UKec deux clés une somme de points égale à y?
Le nombre des cas possibles quand on jette deux dés est 36. La somme - peut être obtenue par 6 et i , 5 et 2, 4 et 3. Chacune de ces manières représente deux cas; 6 et i, par exemple, peut résulter de 6 donné par le premier dé avec i donné par le second, ou de I donné par le premier avec (3 donné par le second.
Sur 36 cas possibles, 6 sont favorables; la probabilité est -3"^,
11. Pr,oi!i.i:Mi. 1\ . (Quelle est la jirobabilité pjour amener a\ec deux dés n fois de suite le point '-'!
Le nombre des combinaisons possibles sur n épreuves faites avec deux dés est 36".
(Chacune des six combinaisons qui, à chaque épreuve, peuvent amener la somme j, en s'associant à toutes les précédentes, mul-
ciiAi>. I. — r:KUMi':u.VTio.\ nr.s (;iiA>cr:s. g
tiplic par (> Ir nombre dos cas favorables. Le nombre total de ces cas pour les // épreuves est donc G". La prol)abib'tt', rapport <bi nombre des cas favorables à celui des cas possibles, est
12. Problème V. — Quelle est la probabililé, en jetant deux dés, pour (n'oir une somme de points égale à 8?
La somme 8 peut être, comme la somme ^, obtenue de trois manières : 6 et î>, o et 3, '{ et ^ ; mais ces trois manières représentent cin(j cas et non six. Le doublet 4 et 4 ne peut se produire, en effet, que si les deux dés donnent 4- Le nombre des cas possibles est 5 et la probabililé est ^.
13. Problème \ L — (Juelle est la probabilité , en jetant deux dés trois fois de suite, pour amener une fois au moins un doublet?
Le nombre des combinaisons possibles sur trois épreuves est
A chaque coup, six combinaisons sont des doublets, trente n'en sont pas. Le nombre total des combinaisons qui ne contiennent aucun doublet est donc, sur trois épreuves, 3o' ou 27000. Le nombre des combinaisons qui contiennent un doublet au moins
est
La probabilité demandée est
Li. Problème VIL — Quelle est la probabilité pour rpi'en jetant deux dés n fois de suite on amène sonnez au moins une fois?
A chaque fois que Ton jette deux dés, le nombre des associa-
1(> CALCUL DES PROB VIIILITES.
lions lie points possibles est M')\ ,'ij, siir ces 36, sont aiiires que sonnez.
Lo nonihio des combinaisons possibles en // coups esl3()"; le nombre de celles dont so/un'z esl exclus est 3:V'; le nonibre tles combinaisons (pii conlicnnenl une du plusieurs fois sonnez esl
La probabililé demandée esl
Si l'on veul que celle probabililé soil ^, il laul déterminer // par 'équation
i)n en déduit
-ir-i'
Si l'on parie d'amener sonnez en 24 coups, les cbances de perle ieniporlenl sur celles de gain. C'est le contraire si l'on accorde 2Î) coups.
Le problème précédent, proposé à Pascal par le clievalier de Méré, a été l'occasion des premières recherches sur le Calcul des probabilités.
« Je n'ai pas le temps, écrivait Pascal à Fermai, de vous envoyer la démonstration d'une difficulté qui étonnait fort M. de-Méré' car il a un très bon esprit, mais il n'est pas géomètre. C'est, comme vous savez, un grand défaut. Il nie disait donc qu'il avait trouvé difficulté sur les nombres pour cette raison : Si l'on entreprend de faire 6 avec un dé, il y a avantage de l'entreprendre par /j coups. Si Ton entreprend de flaire sonnez avec deux dés, il y a désavantage de l'entreprendre en 24 coups, et néanmoins >.4 est à 30, qui est le nombre des faces de deux dés, comme 4 6st à 6, qui est le nombre des faces d'un dé.
» Voilà quel était son grand scandale cl qui lui faisait dire hau-
CH.Vr. I. — ÉNl'MÉIlATIOW DES CHANCES. II
temcnl que les propositions n'élaienl pas conslaiilcs el ipif l'Arillimclif[uc se démenl. »
La rt'ponso ne |)()iivail einhairasscr ni Pascal ni Fermai.
il semble que l'exemple d'un clé à deux faces, c'esl-à-diie d une pièce de monnaie, aurait sufli jxtiir ouvrir les yeux de Méré. Sur I couj), avec une pièce de monnaie, on j)eut parier, sans avantage ni désavantage, d'amener une fois pile. Avec un dé à six faces, Méré le savait, il y a avantage à entreprendre d'amener un point donné en 4 coups. La proportion est donc en défaut, el la petitesse des nombres permet d'en apercevoir aisément la raison.
Lorsque le nombre des faces d'un dé s'accroît et lorsque l'on augmente le nombre des tirages, le nombre total des cas possibles et celui des cas qui contiennent un point donné ne croissent proportionnellement ni au nombre des faces ni à celui des coups.
On peut s'en assurer soit par l'examen des cas les plus simples, soit par la recherche d'une formule. La première méthode était seule accessible au chevalier de Méré. Pascal, en voulant lui expliquer l'autre, a aperçu son grand défaut : il n'était pas géomètre.
15. Problème VIII. — La probabilité d'un <h'éneinenl est p, combien faut -il tenter cl' ép reines pour fjue la [ji-obabililé de voir Vé\^énenienL se jiroduire au moins une fois dépasse une fraction donnée r?
Supposons que, dans une urne, saienl contenues m boules blanches et n boules noires, tn el n étant telles que
Il faut chercher combien de tirages doivent être tentés pour que la probabilité d'amener une boule blanche soit plus grande que /•.
La boule sortie est remise dans l'urne après chaque épreuve, de telle sorte que la probabilité reste, à chaque tirage, égale à p.
Le nombre des combinaisons possibles, sur /» épreuves, est
12 CALCUL DES PUOD ABILITÉS.
le nombre de celles (jiii ne ci)iiliennenl pas de houles blanches csl //*.
Le nombre des combinaisons conlenanl une houle hlanthc au
moins est
La probabilité demandée est donc
( m -h « / \ni -h n/ '
Le nombre /." des épreuves à leiUer pour que celle probabilité soit égale à /'est donn<' par l'équation
I — ( I — /> )^ = /•, d'où
Celte valeur de k n'est pas, en général, un nombre entier. Pour un nombre d'épreuves plus petit que k^ la probabilité de voir une boule blanche sortir sera moindre que /■; elle surpassera /* si le nombre des épreuves est plus grand que k.
Le chevalier de Méré se scandalisait de ne pas voir /, inversement proportionnel à p.
« Pourquoi, disait-il, pour p —- J^,, /, n'est-il pas six fois plus grand que pour y? = |? »
La formule (i) sert de réponse pour les géomètres; elle montre que, pour de petites valeurs de /?, la proportionnalité supposée par de Méré s'éloigne peu de la vérité.
On a, en effet.
Si p est très petit, on peut supposer
Le nombre /." des épreuves est donc, à très peu près, pour une
valeur donnée de /•, proportionnel à —, pour\u (jnc p soit très petit.
CHAI'. I. — ÉNUMÉRATION DES CHANCES. l3
On a, en supposant les logarillimes népériens, ce qui esl permis dans la formule (i), dont cela ne change pas les rapports,
l Y^ = — /lo = — 2,3025, / Y^ = — / 1 00 --- — î , 6o5 1 , ^TôVô =— ^'ooo =—6,9077, / rôoTô = — ' 10000 — — 9,210.
La formule (i) donne donc les théorèmes suivants : SI un événement a pour probabilité jr., N étant assez grand pour qu'on puisse négliger ^ et prendre — ^ pour le logarithme népérien de i — 1^-5 le nombre des épreuves qu'il faut tenter pour
acquérir les probabilités ^,5,7^, -nni, riiô' T^ f'*' ^'O'^^ l'événement se produire au moins une fois est :
Pour la probabilité | OjGgN
» Yo 2,3o25N
9 9 9 r» xT
Tôôïï 6,907^
1 ooou '
9,9.io>J
On peut s'expliquer sans calcul comment, avec le nombre des épreuves, la probabilité s'accroît pour devenir rapidement une quasi-certitude.
Le chevalier de Méré aurait accepté sans étonnement le premier chiffre du Tableau. H y a chance égale, il l'avait reconnu, pour que sonnez, dont la probabilité est jy, arrive ou n'arrive pas en 24 coups, environ. 24 est les | de 06, comme o,G9N est, à peu près, les I de N.
La proportion n'est pas exacte, mais approchée.
Quand le nombre des épreuves est 9,'2N, on peut le partager
l4 CALCUL DES PnOBABI l.ITÉS.
en i4 groupes, environ, de o, (îqN chacun. Celui qui a parié pour l'arrivée de l'événemenl une fois au moins en 9,2N coups esldans le même cas que s'il élail admis à renouveler quatorze fois une épreuve qui donne probabilité égale pour gagner ou pour perdre. Ne pas voir une seule fois l'arrivée de l'événemenl est, pour lui, aussi peu vraiscnildablc (pie de pcrdn» quatorze fois de suite à pile ou face.
10. Problème IX. — Quelle csl lu probabilitv ]>our <ju\^n tirant n houles de suite dans une urne (fui en contient a, marquées I, •'., •), . . ., '^■, et remettant la boule sortie après chaque tirage, /. numéros désignés soient sortis au moins une fois?
Lorsque /. est égal à i , un seul numéro étant désigné, le nombre des combinaisons (jui le contiennent est
(2) UL"— (;x — 1;".
Il faut, en cllet, retrancher du nombre total des combinaisons, a", le nombre des combinaisons qui restent possibles quand le numéro désigné est laissé en dehors.
Pour avoir le nombre des combinaisons qui contiennent deux numéros désignés, il faut retrancher de (>) le nombre des combinaisons qui, ne contenant pas le second, contiennent le premier; ce nombre est donné par la même formule, dans laquelle ui est
remplacé par 'x — i ,
Le nombre des combinaisons qui contiennent une ou plusieurs fois deux numéros désignés est donc
(3) .jL« 2( u— I )"-^(a — a)".
Pour avoir le nombre des combinaisons qui contiennent trois numéros désignés, il faut, de (3), retrancher le nombre des combinaisons qui, ne contenant pas le troisième, contiennent les deux premiers, (^e nombre s'obtient en remplaçant dans (3) a par
u — I ; il est
( ;ji ~ I ;" - 2 ( ;jL — 2)" -i- ( [Ji — 3 /'.
CH.VP. 1. É)JUMÉUATrO.\ DKS CHANCES. l5
Le nombre des coinhlnaisons qui conlicnncnl une un plusieurs fois trois numéros dcsif^nés est
( i ) [x" — 3 (|x — I )" -(- j ( ;jL — uj" — ( ;x — 3 )" .
La mélliodc est j^énérale. Le nombre des combinaisons qui contiennent /. numéros désignés est
Ln divisant ce nondjre par <j." , nombre des combinaisons possibles, on aura la probabilité demandée.
Si l'on suppose />• =: a, on aura la probabilité pour (pic /i tiraj,^es lassent sortir tous les numéros
La suite contient 'j. -t i termes.
Si /^ et [x. sont grands, on a approximativemenl
lin
Ces formules d'approximation sont applicables aux premiers termes de (5); les autres sont négligeables, et l'on peut représenter approximativement la probabilité pour que tous les numéros soient sortis en n tirages par
17. Problème X. ^ — l ne urne contient u. boules nuir(ju(''cs I, 2, 3, .... ;j.. On les tire successiKement, sans les remettre clans l'urne quand elles sont sorties. Quelle est la probabilité pour que, parmi k boules désignées, aucune ne sorte à un rang égal au numéro dont elle est /narquée?
ib CALCUL DES PUOBABILITES .
Les combinaisons dans lesquelles une houle désignée n'est pas à son rang sont au nombre
{ G ) 1 . •> . 3 . . . ;jL — 1 . u . 3 . . . ( [x — 1 ).
Le nombre de celles dans lesquelles deux boules désignées ne sonl ni l'une ni l'autre à leur rang s'obtiendra en retranchant de (G) le nombre de celles dans lesquelles, la seconde boule étant à son rang, la j>romière, dans l'arrangement des [j. — i autres, ne serait pas au sien. Ce nombre s'obtient en remplaçant dans (6) u par <x — 15 il est
