U = I , 2 , . . . , I O , II
de la probabilité /7tji, à moins d'une demi-unilé du septième ordre
df'cimal :
Pi = 0,0000000,
/)» = o, joooooo,
Pi = 0,3333333,
Pi =* 0,3760000,
Pi = o,3G6tjG()7 ,
po = o,368ojJG,
/>8 — 0,36788 KJ, />9 = 0,3678792,
On voit donc que, dès que 'x est éi^al ou supérieur à (j, /a dijjêrence entre p,j. et - ii^at teint pas un niillioniènie.
l8 CALCLL DKS l'KOB.VniLITÉS.
1<S. PuoblèmeXI. — Piciic et /'(/al so/if soiu/iis ù un svrulin (/c Inillotlagc ; l'urne coiidciit m bitllcliiis ftisorablcs à Pierre, Il fa\orables à Pdul; ni es f plus grand que n, Pierre sera élu. Quelle est la probabilité pour (jue, pendant le dépouillement du serutin, b's bulletins sortent dans un ordre tel (juv Pierre ne cesse jias un seul instant d'tnoir It/ya/itage'.*
\.c nombre dos combinaisons possibles csL cebil dos arrangemenls de ni -+- // lellres, j)armi IcscjucUcs ni sendjiablos onlre elles rej)résenlenl le nom de Pierre el les /i aulres, semblables aussi, rcj)réseiiLenl le nom de Paul.
Le nombre de ces arrangements csl
Cllicrchons le nombre des arrangements dans lesquels Paul, ù un certain moment, aura le même nombre de voix que Pierre.
Parmi ces arrangements, il faut compter tous ceux qui commencent par le nom de Paul. Leur nombre est celui des arrangements de /n -7-/1 — 1 lettres, parmi lesquelles m semblables entre elles représentent le -nom de Pierre, elles// — i aulres celui de Paul. Ce nombre esL
I . 9. . '5 ...(/« -f- « — I ) ^"^ i.i.3...OT.i.-2.3...(»-^)'
ils forment la moitié, précisément, du nondjre (pie nous cherchons.
Nous allons dé-montrer, en effet, que tous les dépouillements commençant par le nom de Pierre, el dans lesquels l'égalité des suffrages se produit à un certain moment, correspondent un à un, d'une manière parfaitement déterminée, aux arrangements de ni -r n — 1 lettres dont le nondjre est représenté ])ar la lorniule (il).
Représentons par la lettre A les bulletins qui portent le nom do Pierre et par li ceux qui portent le nom de l*aul.
Considérons une condjinaison commençant par A et dans la-
cil VI'. I. — ÉNXJMÉIIATION TtV.fi CIIANCKS. 1 (J
quelle, à un cerl;iiii nionieiU, (]iKincl on a|)|)<,'llc Ions les termes à partir du premier, le nombre des B est éj^al à celui des A. Arrêtons-nous dans cette énumération faitt- de ^^auclie à dioite la première fois que cette égalité se produit. Enlevons le gr(jupe déjà appelé, Iransportons-le à la fin de la combinaison, a|)rcs avoir enlevé le 13 qui le termine nécessairement. Nous formerons la combinaison de ni -h n — i lettres, conjuguée de celle que nous avons choisie.
Par exemple, la combinaison
AABBABAB,
qui contient quatre A et cpialre B, donnera
ABABAAB,
qui contient quatre A el trois 13.
La combinaison de m + n — i lettres, déduite, comme nous l'avons dit, de l'une des combinaisons commençant par A dont nous voulons faire le compte, permet, quand elle-même est donnée, de retrouver celle dont on l'a déduite. Il suffit d'y appeler les lettres en commençant par la droite jusqu'au moment, qui ne peut manquer de se produire, puisque les A sont en majorité, où le nombre des A surpassera d'une unité celui des B. On enlèvera alors le groupe ainsi défini pour en faire le commencement de la combinaison, en le transportant à la gauche après l'avoir séparé des termes non transportés, qui gardent leur ordre, })ar la lettre I> ajoutée à la fin.
Le nombre total des dépouillements dans lesquels le nombre des lettres B, à un certain moment, atteint l'égalité est donc
En le divisant par le nombre total des arrangements distincts I . o. . 3 . . . ( m -4- /i )
le quotient
20 C.Vl-Cl'L DES l'UOBABILITÉS.
csl la pi'obabililé juiur t|iio IMerrc, piMidaiil la ilun'c du scnilin, perde, à un certain monienl, lavanlage.
La probabililé pour que Pierre garde toujours l'avanlagc est
//j -:- n m -f- Il Celle inîrénicuse dénionslralioii esl due à M. André.
19. Problème XII. — Une itrnc contient a boules numérotées 1, 2, 3, .... a. Quelle est la probabilité pour que, clans n tirasses, la somme des numéros sortis soit égale à /, ?
On suppose qu'après cliaquc tirage la boule sortie soil remise dans l'urne.
Le nombre des combinaisons possibles esl ;j.", puisque chacun des u numéros peut sortir à chacun des n tirages.
Le nombre des cas favorables à l'événement demandé est le nombre des manières de former une somme égale à k avec n nombres inférieurs à a -f- i • Cette somme est, évidemment, le coefficient de t^ dans le développement de
ordonné suivant les puissances de t. Par quelque voie (jue Ton effectue ce développement, les coefficients des puissances de t feront connaître les numérateurs des diverses probabilités dont le dénominateur commun esl <j.".
t-{-t^-\-...~ tV-=
L'expression (i) peut donc s'écrire
Les développements du deuxième et du troisième facteur se feront par la formule du binôme.
Le troisième donnera un développement illimité j mais la multiplication fera disparaître tous les termes dans lesquels l'exposant est négatif.
f.iiAP. I. — i:>LArr.u\Tio.\ i)i:s cii\.\«;f.s. 21
Le Tableau siilvanl a été l'oriné p;ir celte; mélhode. On v a inscrit en regard de chaque somme demandée, et pour un nombre de tirages inférieur à liuil, le nombre des combinaisons f|ui \.i produisenl en supposant iji = (J.
Les tirages peuvent être rempUicés par des dés, en nombre égal à /?, que l'on jette à la fois sur le lapis. La somme des points est inscrite dans la première colonne verticale, le nombre des dés en tête de chaque autre colonne, et le nombre des combinaisons sur la colonne horizontale commençant par la somme demandée.
Nombre
demandé. 1 dé. "ides. 3 dés. 4 dés. .ôdés. G dés. 7 dé». 8 dés.
G I j 10 If) 5 I o o
7 Il <") I j >.o l't (■) 1 o
8 o j xi 3i 35 VI 7 I
\0 " 3 ■)- 80 iiG 12G 84 3G
12 o I 9.5 i'. 5 3o5 î JG ^G>. 33o
li o o i5 14G 540 iiGi 1GG7 1708
13 o o 10 1)0 G5i iGGC) 2807 3368
23 o o o o 126 28 5G 24017 II 3688
