eu. CIL DES mOBVniLITKS
Clin ilfiix, chaque cas de l un des grou|)CS pouvant s'associer avec tous les cas des antres jjroupcs. Le nombre des cas favorables au concours dos évcncincnls simples dont la réunion forme révcnement composé est, par une raison seniMahle, le produit des nombres de cas //?,, nt,, ,.., /;?a favorables à l'arrivée de chacun d'eux.
La probabilité de lévt'nement C(^mposé est donc
JJl, {1.2|Jl3...[XA- \ix, /\,a,/ \lXk.
c'est le produit des |»robabilités des événements simples.
tio. La probabilitc d'un événement composé est le produit des probabilités des événements simples dont ilexige laréunion. Un cas doit être prévu, c'est celui où la probabilité du second événement est iniluencée par la manière dont se produit le premier. Si, par exemple, une urne contient deux boules blanches et deux boules noires, quelle est la probabilité, en tirant deux boules de suite sans les remettre dans l'urne, pour obtenir les deux boules blanches? La probabilité d'en obtenir une au premier tirage est^; mais au second, elle est douteuse : égale à | si le premier tirage a enlevé une boule noire, elle sera^ seulement si la boule disparue est blanche. Quelle est celle de ces deux fractions qui doit servir de multiplicateur? C'est la seconde, évidemment. Dans le premier des deux cas supposés, l'événement demandé est devenu impossible. Peu importe la probabilité des épreuves qui viennent ensuite.
La probabilité d'un événement composé est le produit de la probabilité du premier événement par la probabilité qu'acquiert le second quand on sait que h premier est arriv'é.
On a souvent commis des erreurs graves en oubliant les derniers mots de cet énoncé.
26. Les deux théorèmes précédents sont et doivent être incomplètement démontrés. La probabilité, en effet, n'a été définie que pour une classe très restreinte d'événements. 11 en existe d'autres.
cil VI'. II. — PROBABILITT^S TOTALES F.T COMPOSÉFS. l'J
incertains comme eux, dans lesquels l'énuméralion des cas ne peut rien apprendre. Les principes leur sonl-ils applicables? Sont-ils dès à présent df'monirés pour eux?
Les principes sont applicahlcs.
Ils ne sont pas encore démonirés. Comment le seraicnl-ils? Les probabilités dont ils donnent la mesure n'ont pas même été définies.
(Quelle est la probabilité |)Our cpic la Seine soit gelée à Paris dans le courant de l'année içjQO?
Pour qu'un médecin appelé j)rès d'un malade saclic découvrir la nature, la cause et le remède du mal?
Pour qn'un homme âgé de quarante ans, aujourd'hui bien portant, atteigne l'âge de soixante ans?
Il faut compléter la définition ; tous ces cas lui échappent.
La probabilité d'un événement, quelle qu'en soit la nature, est dite égale à une fraction donnée/), lorsque celui qui attend l'événement pourrait échanger indifféremment les craintes ou les espérances, les avantages ou les inconvénients attachés à l'arrivée de cet événement contre les conséquences supposées identiques delà sortie d'une boule puisée dans une urne dont la composition fait naître une probabilité égale à p.
Comment, dans des cas tels que ceux qu'on a citc's, justifier une telle assimilation? Ce n'est pas en ce moment la question. Si l'assimilation est impossible, on ne la fera pas. Si on la fait, il faudra la justifier.
La définition, dans les deux cas, reste irréprochable.
Lorsque l'assimilation sera faite et justifiée, on en acceptera les conséquences.
On aura le droit de dire, par exemple :
Si, après avoir appelé un médecin, on évalue à -j^ la probabilité pour qu'il vienne et à ^ la probabilité pour qu'il procure, s'il vient, la guérison du malade; sans discuter ces chiffres, celui qui les admet peut ajouter : La probabilité pour que le malade soit visité et guéri par le médecin cs\., pour moi,
'îS C.ALCVL PKS l'UOlUniLITr.S.
i\Am qui acceple, en cll'rl, les proljabililés 77; Cl ^ csl, par délinillon, dans lo niènic doulc que si, en présence de dix urnes indiscernables dont neuf rcnferniont une IxMiIo hlanclie cl deux l)Oules noires, il chcrciiail la jMohahililé pour nicllrc la main sur Tune des neuf urnes dont la coniposilion esl connue et en tirer une boule blanche. L'identité des deux problèmes esl admise-, elle fait partie de rénoiiC('. Si on allègue rimpossibililé de mesurer en cliifTres les probabilités dont nous parlons, l'objection serait aussi peu fondée que si, évaluant la longueur d'un champ d'apparence rectangulaire à Soo™ et la largeur à loo*", on conlestail le droit d ajouler, indépendamment de toute vérification, ces mesures, si douteuses qu'elles soient, et ces appréciations assignent au chamj) une surface de trois hectares.
La règle des probabilités totales et celle des probabilités composées s'appliqueront à toutes les combinaisons de probabilités simples supposées évaluées en nombres. L'évaluation sera |)Ius ou moins judicieuse, plus ou moins justifiée, les conséquences vaudront ce qu'elle vaut elle-même, mais sans introduire aucun doute nouveau.
Les précautions prescrites dans l'application des deux j)rincipes sont indispensables, bien entendu, quand on les transporte aux cas nouveaux.
11 ne faudrait pas dire; par exemple :
La probabilité pour que la Seine soit gelée à Paris en i99> esl la somme des probabilités jionr qu'elle soit gelée pendant chacun des mois qui composent ^anné(^
Elle peut geler, en effet, en plusieurs mois diiïércnts, et (!23) l'application du principe des probabilités totales n'est pas permise.
Si l'on a évalué la probabilité pour (pi'il gèle demain à ~, celle pour qu'il tombe de la neige à {, la probabilité pour voir à la fois de la glace et de la neige n'est pas -p;. La gelée en effet, si elle se j)résente, change la probabilité de la neige.
Nous citerons trois exemples intéressants d'erreurs commises par l'oubli de ces conditions nécessaires dans l'énoncé des principes.
CHAP. II. l'UOB.VniLITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 2C)
27. Problème XVI. — On tire à la cible. Uarnu-, sans être parfaite, ne présente aucun dcfaut systématique; les déviations ont en tous sens uiênie probabilité. L hypothèse est-elle réalisable? On le suppose.
Quelle est la pjrobabilité pour (pie le point Jrappjé soit à une distance du but comprise entre r et r -+- <//?
Les données sont insullisanles, cela semble évident. On a résolu cependant le problème par une fausse application des principes.
Rapportons le point où frappe la balle à deux axes de coordonnées ayant pour origine le centre de la cible, c'est-à-dire le point que l'on veut atteindre. Soient '^'{x) dx la probabilité inconnue pour que l'abscisse du point frappé tombe entre x et x-\-dx., ':>{^y')dy la probabilité pour que l'ordonnée tombe entre )' et y ~ dy. La probabilité pour que la balle frappe le rectangle dx dy, dont les coordonnées sont x et )', est, d'après le principe des [)robabilités composées,
Cette probabilité, d'après notre hypothèse, ne doit dépendre que de la distance du point frappé à l'origine, et l'on doit avoir
Celte équation suffit pour déterminer la fonction ■:,. On en déduit, en prenant les dérivées successivement par rapport à x et à >',
xo{x) ~ y'^<y)'
La traction -^^ est par conséquent constante, et 1 on en conclut que la fonction '-^{x), qui doit s'annuler quand x est infini,
est de la forme
'^(x) = Ge-'''-'^'-.
Ce résultat, fort remarquable, n'est pas, malheureusement, acceptable.
La connaissance de la valeur de x changerait, en ellet, la probabilité de celle de y et le facteur par lequel il faudrait multiplier
3o CALCUL DKS PUOB\I!lLITÉS.
o(j:)dx, pour obtenir la probabililti d'un ccarl r dans un sens, associe à un écart .r dans l'aulro, serait une lonclion inconnue de x et de )', très diirérente peut-être de 'j(,>').
La déviation tle la balle ilépcnd, en ell'el, du soin plus ou moins i;rand et plus ou moins habile avec Ictpitl U' coup a étô préparé. Si l'on a réussi sous un certain point de vue, il v a plus de chances pour que le coup soit bon et cpie tous les écarts soient petits en même temps. La démonstration précédente ne tient aucun compte de cette remarque; les probabilités v sont traitées comme indépendantes.
28. Un physicien justement célèbre, Maxwell, a proposé dans l'étude des gaz un raisonnement dont Tillusion est semblable.
Les molécules d'un gaz, suivant une théorie que nous n'avons pas à discuter, se meuvent en tous sens avec de grandes vitesses. Les directions sont réglées par le hasard aussi bien que les vitesses, mais toutes les vitesses ne sont pas également probables; la vitesse maxima et la vitesse moyenne varient avec la température. C'est la probabilité pour qu'une molécule ait une vitesse donnée qu'on espère découvrir, sans introduire d'autres conditions.
Soit '-i(^) la probabilité pour (pie la composante parallèle à l'axe des X de la vitesse d'une molécule prise au hasard soit x. La probabilité pour que les trois composantes soient o^jj', ^ parallèlement aux trois axes sera, d'après le théorème des probabilités composées, proportionnelle à
Mais la probabilité pour qu'une molécule ait une vitesse donnée, sans que l'on indique dans quel sens, doit être une fonction de cette vitesse, [)uisque toutes les directions sont supposées également possibles. On doit donc avoir
et cette condition suffit pour déterminer la forme de la fonction 'f. On en déduit, comme (27),
CHAP. II. — I'robadilités totales kt composées. 3i
La démonslralion n'est pas acceptable. Le principe des probabilités composées n'a pas été correctement a|)pliqué. Si la composante de la vitesse d'une molécule parallèlement à l'axe des X est ^, la vaK'ur de X supposée connue iniluc sur la piobabililt- |)()iii' cnic la vitesse composée parallèlement à l'axe des Y soit )-. Si, par exemple, X est égal à la vitesse maxima, le mouvement est certainement dirigé parallèlement à l'axe des X, et la probabilité de j' est nulle.
La conclusion obtenue, indépendamment des objections que la tliéoric peut faire naître, ne mérite donc aucune confiance.
29. On pourrait multiplier les exemples j nous en citerons un troisième :
Un météorologiste annonce chaque soir le tcm[)s (ju'il fera le lendemain. La probabilité pour (ju'il pronostitjue juste est supposée égale à p.
Un second observateur fait, de son côté, des prédictions dont l'exactitude a pour probabilité/)'.
Les deux obser\uteurs s'acccordent pour prédire qu'il j)leuvra demain. Quelle est la probabilité pour cpiils se trompent tous les deux?
La probabilité pour <jue le premier se trompe est i — p.
La probabilité [)Our <jue le second se trompe est i — p' .
La probabilité pour qu'ils se trompent tous les deux est une probabilité composée, mais elle n'est pas mesurée par le produit
La probabilité composée est le produit de (i — p) par la probabilité pour que le second observateur se trompe, quand on sait que le premier a fait un faux pronostic.
Les données du problème laissent cette probabilité complètement inconnue.
Si les deux observateurs ont reçu les mêmes leçons, s'ils ont adopté les mêmes principes, en présence des mêmes faits ils porteront le même jugement. Si lun se trompe, l'autre se trompera aussi; le second facteur du produit sera l'unité. L'accord certain des deux prédictions ne diminue pas la chance d'erreur.
