CAI.CIL DES PUOUVUILITÉS
Si les Jeux luclliotK-s xuil dillt rriiLos, k's conclusions pourront IV-lre aussi, sans pour cela ilcNcnir imlcpendantes. Certains svmplùnies sont nécessairement apprrciés de la même manière, cl leur nombre inconnu laisse le problème insoluble.
Si l'un des méléréologisles annonce cpi'il pleu\ra, l'autre qu'il ne pleuvra pas, la probabilité pour «piils disent juste tous deux n'est pas/)/?' '• cdle est nulle.
30. PuoBLii.MK W I. — i ne iiriw cu/itien/ Irais houles ma/nui'cs 1 , 2 c/ 3. On m lire deux sueeessi\enteul , en renietlunl dans l'urne, iiprès le j>reniier tiiage, ht houle (jui en est sortie.
Quelle est ht jtrohahilité pour ijue le plus i^/a/td numéro sorti soit 2?
Pour que 2 soit le plus grand des numéros sortis, d laul <pie •) ne se soit pas montré et que l'on n'ait pas tiré deux fois le n" 1 .
Pour qu'à lune des épreuves 3 ne sorte pas, la probabilité est ^. Pour qu'il ne sorte ni au jiremier ni au second tirage, elle est |. Pour (|ue 1 sorte deux fois, la probabilité est ^; | est par conséquent la probabilité pour qu'il ne sorte pas à l'un et l'autre tirage.
L'événement demandé semble donc composé de deux autres dont les probabilités sont -^ et f; il ne faut pas cependant faire le produit de ces deux fractions. Il faut (-0) mulli|)lier ^ par la probabilité pour que i ne sorte pas deux fois, lorsque l'on sait que 3 n'est pas sorti. Cette probabilité est | ; le numéro 3 étant écarté, il n'en reste en effet que deux. La probabilité pour que i sorte est 7,, pour qu'il sorte deux fois j, et pour qu'il ne sorte pas deux fois, par conséquent, elle est |.
La probabilité demandée est
On aurait j)u dire : Pour (pie le plus grand des numéros sortis soit •>,, il faut que 2 soit sorti cl <pie 3 ne le soit pas.
La probabilité de n'amener 2 à aucune des deux épreuves est |, celle de l'amener une fois au moins est, par conséquent, ^.
CIIAP. 11. — l'UOB.UHI.iTLS TOT.VLF.S ET COMPOSÉES. 33
La probubiliU" ^ doil cire miillipliéc par la prohabililé de ne pas amener 3, sachant que 2 est sorti.
Si 2 est sorti au premier tirage, la probabilité de ne pas amener 3 au second est \.
Si 2 est sorti au second tirage, la probabilité de ne pas avoir amené 3 au premier est |. Acceptons donc celte probabilité \ qui convient aux deux cas, nous trouverons pour la j)robabililé demandée
k ^ - io
Le désaccord avec le résultat précédent est un avertissement. Il n'était pas permis, comme nous l'avons fait, de partager la sortie supposée de 1 en deux cas distincts et de supposer successivement 2 sorti à la première ou à la seconde épreuve. Il a pu sortir à toutes deux; notre calcul fait entrer deux fois en compte le cas où les deux tirages auraient, l'un et l'autre, amené le jioinl 2.
31. Problème XVII. — Probabilité des brelans au jeu de la bouillotte.
La bouillotte se joue a\ec vingt cartes. On enlève d'un jeu de trente-deux cartes les sept, les valets et les dix.
Chacun des quatre joueurs reçoit trois cartes. On retourne la treizième.
Un joueur a brelan lorsque ses trois cartes sont de même espèce, trois rois, trois as, etc. Il a brelan carré lorsque toutes trois sont de même espèce que la retourne.
Soit Pi la probabilité pour que i joueurs désignés aient des brelans. On déduit du tliéorème des probabilités composées
— =o,oi7j44,
If).
Pi — P2 ,
P'* — Pi — ■ = 0,0000006 jq8l.
34 CALCUL DKS rnonAlULlTKS .
On jXMit avoir brelan en olVct quelle (jiie soil la première carie; la probabilité pour avoir une |)reiiiière carie est ^, celle pour que la deuxième soil de mémo espèce que la première est ■—-, et pour que la troisième soit de même espèce que les deux autres la probabilité est y^.
Celle probabililé />, calculée pour uu prcuiicr joueui- à (pii Ton donnerait trois caries, sans s'occuper des autres, convient à l'un quelconque des trois, car la manière de distribuer les caries est indillerenle.
Lorsqu'un premier joueur a brelan, la prol)abililé jiour qu'un second lait aussi esl cliangée. Il ("aut d'abord que la première carie rende le brelan possible. La probabililé est ~, car clic ne doit pas être celle qui complète le brelan déjà fait; pour que la deuxième carte soit pareille à la première, la probabilité est ■—, et pour que la troisième soit pareille aux deux autres elle est ~.
On eu conclut
/'2 — /»! • f. Te T3 '
les autres formules se démontrent de la même manière.
/?,, /)o, /J3, p.; sont des probabilités totales. Si l'on représente par HT/ la probabilité pour que î joueurs désignés aient des brelans et qu'ils soient seuls à en avoir, on aura les relations
Pi ^^ ^l -+" 3 T3o -+- 3 nT3 -4- CTi .
Il est clair, en effet, que la probabilité pour qu'un joueur ait brelan se compose de la probabilité ni, pour qu'il l'ait seul, de la probabilité Swo pour qu'il l'ait en même temps que l'un ou l'autre de ses adversaires, de la probabilité Sth^ pour qu'il i'ail avec deux d'entre eux, ce qui fait trois cas, et de la probabilité tts-, pour que les quatre joueurs aient brelan.
On déduit des équations (i)
^l, = Pl,-> ^3 = P3 — />■.' "^2 = T'a — 2 /)3 4- />; ,
xsi— Pi — 3p, -- 3p3 — Pi
cnAP. H. — l'RonvniLirr^.s totai.ks et composées. Sj
et, par conséquenl,
1^4 — 0,0<)000()Glf).
TOj ^ O , OOOO 1 -iij4H, 732 = 0,000380^-44.
nii = o,oiG34 J764.
I^a probabilité pour rpi'il n'y ait aucun l)rclan est
R/ étant la prol)abilité d'avoir brelan pour le joueur de rang i quand les précédents n'en ont pas.
On a évidemment
H;=T7r,, R3 — TTT] -^ TCTo, Ro = TTTi -^ 2nT2-t- ^3)
Rj = cTj -)- 3cj2-7- 3ra3-i- nj;.
La probabilité R, pour que le quatrième joueur ait brelan, les autres ne l'ayant pas, ne difï'ère pas en effet de cj,.
R3, probabilité povir que le troisième joueur ait brelan, les deux premiers ne l'ayant pas, est une probabilité totale. Il peut avoir brelan tout seul, la probabilité est w,; ou l'avoir en même temps que le quatrième joueur, la probabilité est tho. Les autres formules se justifient par des raisons semblables.
On en conclut
Ri-^i= 0,017544,
32. Problème XVIIL — Quelle est la probabilité de la chance favorable réservée au banquier clans le jeu de trente et quarante?
Le jeu de trente et quarante se joue avec un grand nombre de cartes, réunion de divers jeux complets mêlés en un seul, bien entendu.
36 CALCIL DES PROUABIl.IÏÉS.
On altal une à une assez, de caries pour obtenir une somme de points supérieure à 3o, les figures étant comptées poui" lo et les autres cartes pour le nomlire des points (pu s'v trouvent martpiés.
Une seconde épreuve suit la première.
Le hasard donne ainsi deux sommes toutes deu\ plus yiandes que 3o et égales au plus à .\o.
Le joueur jnuie pour celle des deux sommes qu d clioisit et gagne si elle est plus grande que l'autre.
Si les sommes sont égales, le coup est nul. Ln seul cas est excepté, celui où Ton a deux fois 3i .
Ce refait de 3i est le seul avantage réservé au banquier; il a droit, dans ce cas, à la moitié des mises.
Nous supposerons le nombre des cartes assez grand pour que, pendant les deux premiers tirages, on puisse négliger rinlluence des cartes sorties sur les probabilités des divers points. S'il v a huit jeux, j)ar exemple, et par conséquent trente-deux sept, la sortie d'un sept diminue la probabilité d'en voir sortir un second. Il serait difficile de dii-e quelles sont les cartes dont la sortie acci'oît ou diminue la probabilité du refait de 3i. INous négligerons cette très petite influence.
Soit P« la probabilité pour que, en abattant successivement les cartes, la somme prenne à un certain moment la valeur n.
La somme i ne peut se produire qu'au premier coup, si l'on abat un as. La probabilité pour cela est -p^; on a
La somme 2 peut se produire de deux manières : 2 au premier coup; as au premier, as au second. On a
h-^Tr^ = -h(:-i3)'
La somme 3 peut se produire de trois manières ; 3 au premier coup; passer par la somme 2 obtenue en une ou en deux fois et la fiirc suivre d un as; commencer par un as, puis amener un 2.
f.lIAP. II. — PROBABILITÉS TOTVLKS ET COMPOSÉES. 37
On en déduit *
On a, en général, tant que n esl inférieur à lo.
On trouve ainsi
pj = o,o8>.846.
P4= OjOgrojK
Pj^ O, !i;8 Jfiâ.
Pg= o, 129226.
Pg = O, I 39 166.
A partir du point lo, les conditions cliangent; quatre cartes difierentes, en effet, les dix et les trois figures, peuvent amener dix points. On a
P,o=4^-^^Pi-^P2-^-P3-^...--P»)=o,38o64i.
li I )
Au-dessus de /i = lo, la formule évidente
donne
P/i — —r, (P/i-l-r- Pn-»-^- • •-;- Pn-'j) -H — T P/J-1
P,, = o, 120218, P.22 = o, M^fijo,
Pl2= O, 124908. P23= O, 145089,
Pi3 = 0, 129613, Pai = O, 147362,
Pn = o,i343o4. P23= o, 149543.
