LES LOIS DU HASARD

conlicndraiciiL plus de cinquante, sont inlroiival>l('.s dans la masse comme des gouttes d'eau désignées dans l'Océan.

Sur le Pont-Neuf, pendant une journée ou pendaut une heure, on peut prédire résolument que les passants de taille inférieure à deux mètres l'emporteront par le nombre. Le j)oiit écarte-t-il les géants? Quand, au jeu de dés, on annonce quelles combinaisons prévaudront, c'est, comme pour les passants du Pont-Neuf, une question d'arithmétique; les combinaisons qu'on ose exclure forment, dans le nombre total, si les épreuves sont nombreuses, une proportion beaucoup moindre que, parmi les Parisiens, les hommes de six pieds de haut.

Buffon, qui, ce jour-là, manqua de patience, fit jeter une pièce de monnaie en l'air 4o4o fois ; il obtint 2048 fois face au lieu de 2020. Un tel écart n'a rien d'inattendu. Le jeu étudié par Buffon était moins simple que pile ou face. Quelques millions d'épreuves ne pourraient ni en révéler ni en infirmer la loi. La pièce jetée en l'air est jetée de nouveau et de nouveau encore, s'il le faut, jusqu'à l'arrivée de face. Buffon, avant amené face 2048 fois, a joué 2048 parties.

Un paradoxe singulier rend ce jeu, — ce problème de Saint-Pétershoarg, c'est le nom qu'on lui donne, — mémorable et célèbre. Pierre joue avec Paul ; voici les conditions : Pierre jettera une pièce de monnaie autant de fois qu'il sera nécessaire pour qu'elle montre le côté face. Si cela arrive au premier coup, Paul lui donnera un écu; si ce n'est qu'au second, deuxécus; s'il faut attendre un troisième coup, il en donnera quatre, huit au quatrième, toujours en doublant. Tels sont les engagements de Paul. Quels doivent être ceux de Pierre? La Science, consultée par Daniel BernouUi, donne pour réponse : Une somme infinie. Le parti de Pierre, c'est le mot consacré, est au-dessus de toute mesure.

X PnÉFACE.

Les géomètres ont interprété de plusieurs façons et désavoué, eoiunie excessive, la réponse irréprocliable de la théorie du jeu. D'Alembert écrivait en 17G8 : « Je connais jusqu'à présent cinq ou six solutions au moins de ce |)rohlrine dont aucune ne s'accorde avec les autres el donl aucune ne me j)araît satisfaisante. » Il en ajoute une sixième ou septième, la moins acceptable de toutes. L'esprit de d'Alemberl, habituellement juste et fin, déraisonnait complètement sur le Calcul des probabilités.

Bulïon, pour expliquer le païadoxe de Saint-Pétersbourg, allègue (pie ])ossé(ler ne sert de rien si l'on ne peut jouir. ({ Un mathématicien, dans ses calculs, — ce sont les propres paroles de Bulfon, — n'estime l'argent que par sa quantité, c'est-à-dire par la valeur numérique ; mais l'homme moral doit l'estimer par les avantages et les plaisirs qu'il peut procurer. )) On promet à Pierre de doubler son gain à chaque coup qui retarde l'arrivée de face, on ne peut doubler que ses écus. Pierre ne demande rien de plus, Buffon peut en être certain. « L'accroist de chevance, avait dit avant lui Montaigne, n'est pas l'accroist d'appétit au boire, manger et dormir... » ; chacun peut allonger la liste. Daniel Bernoulli, réduisant cette distinction en formule, oppose à la richesse mathématique une richesse morale que l'or accroît, mais si lentement, que toutes les unités, jusqu'à la dernière, procurent un égal contentement.

Cette théorie condamne tous les jeux de hasard. Le conseil de ne jouer jamais, si excellent qu'il soit, ne peut être proposé pour une théorie du jeu. Supposons en présence deux disciples de Bernoulli. « Si je gagne, dirait Pierre, qui est pauvre, en proposant à Paul une partie d'écarté, votre enjeu de 3*^' pavera mon dîner. — Repas pour repas, répondrait Paul, vous me devrez 20*'" en cas de perte, car

LES I.OIS nu II \S Alt II. XI

tel sora If j)i"i\; de mon souper. — Si je perdais lio*^', s'ccric- . rail l'i(>rre, effrayé, je ne dînerais pas demain ; \<nis ponvc/., sans en venir là, perdre 10000*^% déposez-les contre mes 20'^''; l'avantage, Daniel IkM-nonlli l'affirme, restera de votre côté. » — Us ne s'entendront pas.

Ceux qui suivent Condorcct et Poisson, sans contester la bonne foi de Paul, tiennent ses engagements pour nuls. Si le hasard amenait pile soixante-quatre fois, Paul dcxrait payer autant déçus que le sultan des Indes ne put donner de grains de blé à l'inventeur du jeu d'échecs. Une telle promesse est téméraire; si riche qu'on le suppose, Paul, ruiné dès le trentième coup, ne pourra plus payer double. Ne comptant plus sur ses promesses, Pierre ne doit pas les payer, et le calcul règle le droit de Paul à i5 écus.

On propose à 5o personnes possédant chacune 20 millions et pas davantage d'organiser une loterie à 20 millions le billet. Le gagnant deviendra l'homme le plus riche du monde, les 49 autres seront ruinés. Les jo vi^ésimillionnaires acceptent. Ils sont peu sensés, mais équitables. La justice et la raison sont choses distinctes. Au jeu de Saint- Pétersbourg, tout aussi bien qu'à cette loterie, les espérances doivent être payées ; il ne s'agit plus d'un seul, mais d'un nombre illimité de milliards. Le pioblème imaginé par Daniel BernouUi dissimule ingénieusement cette énorme mise. L'Algèbre, en la dégageant, met la chance à son juste prix.

Les conditions d'un jeu peuvent être équitables et dangereuses ; iniques dans d'autres cas, mais acceptables. Est-il déraisonnable, malgré le o, le doublé o et le refait, de risquer 5*^' à la roulette ou au trcnte-et-quarante?

Quant au problème de Saint-Pétersbourg, il faut approuver absolument et simplement la réponse réputée

xn phf.fvck.

absurde. Pierre possède, je suppose, i million d'écus et les donne à Paul en écliani^e des promesses convenues. Il est t"()u ! dira-t-on. Le placement est aventureux, mais excellent; l'avantage infini est réalisable. Qu'il joue obstinément, il perdra i parlie, looo, looo millions, i million de milliards j)Oiit-ètrc; qu'il ne se rebute pas, (|it'il recommence un nombre de fois cpie la j)lnme s'userait à écrire, qu'il dilTere surtout le rèi^lement des comptes, la victoire, pour lui, est certaine, la ruine de Paul inévitable. Quel jour? (piel siècle? On l'ignore ; avant la fin des temps certainement, le gain de Pierre sera colossal.

Une fourmi transporte un grain de poussière de la cime du mont Blanc dans la plaine, retourne sur la hauteur, descend une nouvelle charge et recommence toujours. Après combien de vova^es aura-t-elle comblé les vallées et nivelé la chaîne des Alpes? Le premier écolier, sans consulter l'arénaire d'Archimède, fera le calcul sans erreur. Le dessein de la fourmi dépasse ses forces, s'écrieront des gens sages ; elle mourra à la peine. Condorcet et Poisson ne sont pas moins sages. Pierre est un imprudent ; il entreprend au delà de son crédit, une opération beaucoup trop longue: il est aussi certain pourtant de ruiner Paul que la fourmi de niveler la Suisse.

Dans un problème plus célèbre et plus grave, la vie humaine servait d'enjeu. L'inoculation, avant la vaccine, était, contre la variole, le meilleur parti qu'on put prendre; mais I inoculé sur 200 mourait des suites de l'opération. Quelques-uns hésitaient ; Daniel Bernoulli, géomètre impassible, calculait doctement la vie moyenne, la tionvait accrue de trois ans et déclarait par syllogisme l'inoculation bienfaisante. D'Alembert, toujoiu\s hostile à la théorie du jeu, qu'il n'a jamais comprise, repoussait, avec grande raison cette

i.ES LOIS nu HASMin.

lois, l'application qu'on en voulait faire : k Je suppose, (lil-il, (pie la vie moyenne d'un homme de trente ans soit trente autres années et qu'il puisse raisonnablement espérer de vivre encore trente ans en s'abandonnant à la nature et en ne se faisant pas inoculer. Je suppose ensuite qu'en se soumettant à cette opération la vie moyenne soit de trentequatre ans. Ne semble-t-il pas que, pour apprécie)' l'avantage de l'inoculation, il ne suffit pas de comparer la vie moyenne de trente-quatre ans à la vie moyenne de trente, mais le risque de i sur 200, auquel on s'expose, de mourir dans un mois, par l'inoculation, à l'avantage éloigné de vivre quatre ans de plus au bout de soixante ans? »

On argumente mal pour vider de telles questions : supposons que l'on puisse, par une opération, accroître la vie moyenne, non plus de quatre, mais de quarante ans, à la condition qu'une mort immédiate menacera le quart des opérés : un quart des vies sacrifié pour doubler les trois autres, le bénéfice est grand. Qui voudra le recueillir? Quel médecin fera l'opération? Qui se chargera, en y invitant 4000 habitants robustes et bien portants d'une même commune, de commander pour le lendemain 1000 cercueils? Quel directeur de collège oserait annoncer à 5o mères, qu'empressé à accroître la vie moyenne de ses 200 élèves, il a joué pour eux ce jeu avantageux et que leurs fils sont les perdants ? Les parents les plus sages acceptaient i chance sur 200 ; aucun, sur la foi d'aucun calcul, ne s'exposerait à I chance sur 4-

Un jeu, sans blesser la justice, peut causer de grands dommages; il peut être périlleux d'y échanger les chances de perte et de gain, les règles que doivent suivre ceux qui veulent commettre cette imprudence n'en reçoivent aucun changement.

XIV PUKFACK.

Un ingênioiir calcule la cliargo capable d'abaisser do o"',,')o le tablier d'un jioul. l/épreuvc esL iuutile, imj)ru(lenLe, dau- £jereuse : le poids calculé esl-il moins jusle? Il esl mauvais de trop charger un pont, mauvais aussi de jouer trop i^ros jeu. Cela ne change ni la théorie du jeu ni celle de l'élasticité.

Revenons au théorème de Bernoulli.

S'il pleut un jour entier sur la place du Carrousel, tous les pavés seront également mouillés. Sous une forme simplifiée, mais sans en rien retrancher, c'est là le théorème de Bernoulli. Il pourrait se faire assurément, lorstpie tout alentour la pluie tombe à torrents, ([u'uu certain pavé restât sec. Aucune goutte n'a pour lui de destination précise, le hasard les disperse, il peut les porter toutes sur les jKivés voisins; personne ne le supposera sérieusement.

Telle est la puissance des grands nombres. Le hasard a des caprices, jamais ou ne lui vit d'habitudes. Si looo gouttes tombent sur looo pavés, chacjue pavé n'aura pas la sienne; s'il en tombe looo millions, chaque pavé recevra son million ou bien peu s'en faudra. Si l'on jette deux dés 3G millions de fois, le double-six, au lieu de i million de fois, pourrait ne se présenter que loo ooo, et peut-être n'arriver jamais. Une telle exclusion soumise au calcul, d'après notre façon de parler, est déclarée impossible.

L'analogie va à l'identité. Considérons en effet, sur la place, pendant la pluie, un carré de o'",6 de côté. Partageons la base, aussi bien que la hauteur, en (3 parties, portant chacune un numéro d'ordre ; découpons le carré, par des parallèles aux côtés, en 36 cases égales désignées chacune par les deux numéros placés en tête des bandes auxquelles elle appartient; une case répondra à G,G ; une autre à j,6 ; une troisième à G, 5 ; elles auront mêmes noms

LKS J.OIS DU ll\->\ll II.

(|ii(' les coups possibles avec deux dés. (',lia(|uc goutte de |)luio tombant sur le carré représente un coup de dés. T^e basai'd, dans les deux épreuves, décide entre les mêmes points. A la (In de la journée, la pluie a également mouillé les JG cases, les dés ont amené les 3() points également : où est la différence ?

Hien ne manque au rapprochement et le même tempérament est nécessaire aux deux assertions trop précises. Il serait fort étrange que les pavés, quoique mouillés également, n'eussent pas reçu dans le cours d'une journée quelques centaines de gouttes en plus ou en moins ; de même, sur quelques millions de coups de dés, quelques [)oints se montreront sans doute un peu plus, d'autres un peu moins souvent.

Les rapports sont certains, non les différences, et c'est malheureusement la différence (jui ruine. On joue loo parties à un jeu de Ijasard, l'enjeu est 20*^' ; il est peu probable, mais possible, que l'on perde 65 parties. La perle de 3o louis représente 3o pour 100 du nombre des parties jouées.

Au lieu de 100 parties, on enjoué loooo; une perte de 3o pour 100, c'est-à-dire de G5oo parties, doit être tenue pour impossible. 5 i5o parties perdues supposeront, d'après le calcul, une fortune aussi adverse que 65 sur une série unique de 100 parties ; la perte correspondante, 3oo louis, représente 3 pour 100 du nombre des parties jouées.

Sur I million de parties, une perte de 3 pour 100 supposerait, contre les lois du hasard, un dérèglement qui jamais ne s'est vu; 3 pour 1000 représente une chance défavorable équivalente à celle des deux hypothèses précédentes. Trois parties sur 1000, pour i million de parties, feraient une perte de 3ooo louis ; un jeu égal devient à la longue dangereux. Non seulement les lois du hasard permettent la ruine B. b

XVI l'nÉFACK.

(lu joiicMir, (*ll(^s l;i prodiscMit. Tout joiuMir se riiiiKM'a si \c loinps ne lui manque pas. Lai^raui^o, Laplacc cl Aiiipôrc l'onl dônionlro; lours raisonucnienls n'oiil corpi2:é \^cvsouno, ils iutéiH'SsiMil tout 1(^ nioiulc.

Si (l(Mi\ |(>u(MM"s j()U(Mil sans cesse justpi'à la iiiinc de l'im d'eux, le moins riche seia j)r()l)al)lenu'u( Naiucu. Le rajipoit du n()ml)i-edes pai'tics gagnées ou perdues diiïcrera de moins en moins de l'unité, mais la dilTércncc augmentera, comme nous l'avons dit; tantôt l'un sera en perte, tantôt l'antre. La dilllérence, petite d'abord, deviendra grande. La perte, dans ses oscillations, trap[)era cliatun des deux joueurs allcMiiativemcMil ; cpiand elle ilépassera la forlime du pc^rdant, la luiue j>oui" lui sera consommée. Le danger menace surtout, on le comprend, le moins riche des deux joueurs. L'homme qui joue sans limite et sans cesse accepte tous les adversaires, dont l'ensendjle, sans changer son sort, j)eut recevoir un nom collectif : h' public, qui n'est jamais ruiné, ruine les imprudents qui l'attaquent.

Tout change quand les conditions du jeu sont inégales. Le moindre avantage fiiit pencher la balance. Pour le joueur que les conditions favorisent, le gain augmente sans limite. Au trente-et-quarante, par exemple, l'avantage du banquier est un peu plus de o,G pour loo. Si l'on joue loo j)arties, en évaluant à looo*^' la somme des enjeux pour chacune d'elles, l'avantage réservé au banquier par les règles du jcni représente Goo*^"". Les accidents du hasard produiront un écart dont la valeur moyemie, indiquée par le calcul, est nGoo*^"^. Le banquier, sur une .série de lOo parties, a donc chances égales, à très peu près, de perdre ou de gagner. La j)erle moyenne, c'est tout son avantage, est iin ])eii moindre que le gain moyen.

Sur loooo j)arties, eu suj)posant toiijoui's r(Mijeu de