CHAP. II. — PROBABILITÉS TOTALES KT COMPOSÉES. .JQ
Le banquier a les mêmes droits, mais il a r.avanlage, avant de prendre sa décision, de savoir si l'adversaire a demandé une carie et de connaître colle qu'il a reçue.
Chaque carte \aut, comme au Ironie ol quarante, lo nombre des points nuiiqiiés sui- elle. Les figures valent lo. Le gagnant est celui qui a le point lo plus fort, les cliifTres des dizaines ne comptant dans aucun cas : ii vaut i; ii vaut 2; ^3, si l'on a trois caries, vaut 3.
Le jeu se termine immédiatement si 1 un dos joueurs reçoit, quand on donne les cartes, l'un des points 8 ou 9. Il abat et gagne si l'adversaire n'a pas un point meilleur. Dans ce cas, il n'est pas donné de cartes nouvelles.
Tous les points, à l'exception de 10 (ou zéro) ont môme probabilité quand on donne les cartes : la probabilité de 10 est -j^ = o, I \~[), celle de chacun des autres -~ = o,oc)i6-. La démonstration ne présente aucune difficulté.
Quand un joueur demande une carte, quel que soit lo point qu'il ail, il a probabilité -^ de le conserver en recevant un dix. et probabilité yj de le changer pour un quelconque des autres points, qui deviennent tous également probables.
Nous traiterons une seule question.
Lorsque le ponte a reçu le point 5, est-il avantageux pour lui de demander une carte?
Il faut résoudre quatre problèmes :
Le ponte avant 5 et ne demandant pas de carte, quelle est pour lui la probabilité de gagner et quelle est celle de faire coup nul, lorsque le banquier, ignorant qu'il a le point 5, sait qu'il a 1 habitude, quand il a ce point, de ne pas demander de carte?
Le ponte ayant 5 et ne demandant pas de carte, quelles sont pour lui les probabilités de gagner ou de faire coup nul, lorsque le banquier, ignorant qu'il a le point 5, croit qu'il a l'habitude, quand il a ce point, de demander une carte?
Le ponte avant 5 et demandant une carte, quelles sont pour lui les probabilités de gagner ou de faire coup nul, lorsque le banquier connaît son habitude de demander une carte dans
^O CALCl L DI-S rnOBAniLITI^.S.
celle circonslance ou lorsfju'il croil savoir (ju'il n'en demande pas?
Résolvons le premier problème.
Le ponle a 5. Le banquier Tignore. En le voyanl s'y tenir, il apprend qu'il a 5, 6 ou -. Ces Irois cas ont chacun pour probabililé ^^. Huit suppositions peuvent être faites : le banquier peut avoir o, i , 9.y 3, 4> 5, G ou -. Les probabilités des huit hypothèses étaient ~ pour le point o et -p^ pour les autres, au moment où les cartes ont été données. Mais on n'a pas abattu ; les points 8 cl rj ne sont plus possibles. Les probabilités deviennent
et
— — = o,oiG-o.
li; ' "^
Que fera le banquier? S'il a o, i , 2, 3, /{' '1 prendra une carie.
Il pourra hésiter s'il a 5 ou G, et il faul résoudre cette question incidente : Dans les circonstances supposées, c'est-à-dire le ponte >'y étant tenu et ayant Thabilude de ne pas tirer à 5, le banquier doit-il tirer à 6? doit-il tirer à 5?
Nous ferons le calcul pour le cas où le banquier a le [)oinl G; il se compose de deux autres :
Quelle est la probabilité de gagner pour le banquier qui, ayant 6, demande une carte dans les conditions supposées?
Quelle est la probabilité s'il ne demande pas de carte?
Si le banquier ne tire pas ayant 6, il a probabilité j de perdre le ponte ayant ^, ^ de gagner le ponte ayant 5, ^ de faire coup nul.
Si le banquier, ayant 6, demande une carte, il acquiert la probabilité Yî d'avoir chacun des neuf points autres que 6 et -p^ d'avoir celui-là.
La probabilité de perdre contre l'adversaire dont le point est 5, 6 ou "j doit s'évaluer par l'énuméralion des cas :
Il a la probabililé -j^ de perdre avec les points o, i, ■?., 3, /\: la probabilité — pour avoir, avec le point >, probabilité ^ de faire coup nul et | de perdre; la probabilité ,*., [)0ur avoir, avec le
CIIVI'. II. — PHOnVBIMTKS TOTALES ET COMPOSÉES. /{ '
point 6, probabilité -^ de gagner, ^ tic faire coup nul et ~ de perdre : probabilité -pj pour acquérir, avec le point -, probabilité 'f^ de gagner, I de faire coup nul ; probabilité jji enfin, de gagner avec le point 8 ou avec le point ().
