I.a probabilité de gagner est, d'après cette énuméralion
celle de faire coup nul
> 1 ! iJ
La probabilité de gagner était |; elle devient j.^ : elle a diminué.
Celle de faire coup nul a également diminué; le banquier, dans les conditions supposées, ne doit pas tirer à G.
Un calcul fondé sur les mêmes principes et tout aussi facile montre que, dans les conditions supposées, le banquier doit tirer à 5.
Sans énumérerles cas possibles, qui deviennent plus nombreux quand le ponte a reçu une carte supposée connue, nous nous bornerons à donner les résultats.
Le ponte se lient à 5, le banquier sachant qu'il a cette habitude.
Le sort du ponte qui a 5 est le suivant :
Prohabilité de gagner o, 444694
» de faire coup nul. 0,082907 » de perdre 0,469400
Le ponte qui a 5 demande une carte, le banquier sait que telle est son habitude.
Le sort du ponte qui a j est le suivant :
Probabilité de gagner o,44434S
» défaire coup nul. 0,12098) » de perdre o,4347'7
42 CAI-CVL PES PnOBAlJll.ITÉS.
Tels sont les résultais du calcul lors(juc le ponlc ne ciierclie pas à Irompcr le banquier sur ses liabiludes.
Si le poule qui a 3 s'y lient, f.iisant croire au bantjuier ([u'il a l'habilude de demander des caries, le sorl est le suivant :
l'robabililc do j;agner o, iSgCii
u de faire coup nul. 0,094890 » (II- perdre o,4(5j97
Si le ponte, avant 5, demande une carte en faisant croire au bampiier cpi il a 1 liabiluile de s'y tenir, son sorl est le suivant :
Probabilité de gagner o, {471 13
» défaire cou|) nul. o, 126463 » de perdre 0,1-26124
L'étude n'est pas complète. Si le baïupiier i^Miore ce que fait le ponte quand il a 5, doit-il tirer à 6? Quelle est, dans cette indécision, la chance du ponte qui a 5?
Il est impossible de la calculer : elle dépend de la chance qu'il V a, quand il aura pris son parli, pour (|ue le banquier se trompe ou devine juste en se demandant ce qu'il fait quand il a 5.
En résumé, le ponte doit-il se tenir à 5, doit-il tirer?
Si, sans jouer au plus lin, dès le début de la partie, il déclare franchement ses habitudes, il doit tirer à 5.
Si les conventions du jeu j^ermettent la ruse, il doit se tenir à 5, en faisant croire au bancpiicr, s'il le j)cul, quil a lliabilude de tirer.
3i. PkoblèmeXX. — ii-{-\ joueurs \i, Ao, ..., \,i^\ jouent aux conditions suivantes : A, et A2 jouent une piemière partie; A3 remplace le perdant ; A^, A5, . . . luttent successivement contre le perdant de la partie précédente. La poule continue ainsi jusqu'à ce c/u'un joueur ait gagné successivement tous les autres, et par conséquent n paities de suite. Quelle est la prohabilité pour que la partie se termine au coup de rang ,r?
CHVP. ir. — PnOBVBlLITÉS TOTALES ET COMPOSÉES. 4^
Le joueur qui gagne la poule au coup de rang x est entré au jeu au coup de rang x — n-\-\\ il a gagné ce coup et les n — i suivants. On peut partager cette hypothèse en n — i autres, en distinguant les cas d'après le nombre des parties gagnées par l'adversaire du joueur dont nous parlons au moment où celui-ci est entré au jeu.
Soit p^ la probabilité pour que ce premier adversaire ait gagné une seule partie, la probabilité pour que celte hypothèse se présente et fasse gagner la poule au coup de rang x est
mais on a évidemment
Car, si la partie se termine au coup de rangée — i, le joueur qui la gagne avait une partie gagnée déjà au coup de rang X — /? -i- I , et il en a ensuite gagné n — i sans interruption.
La probabilité pour que la poule se termine au coup de rang .z", le joueur qui la gagne ayant rencontré d'abord un adversaire qui n'avait gagné qu'une seule partie, est, d'après cela,
Soit pi la probabilité pour que le gagnant de la poule au coup de rang x ait eu pour premier adversaire un joueur ayant gagné deux parties déjà, le terme correspondant de la valeur de Vx sera
.''-^^/'^iïïTi^
On a, évidemment, par conséquent,
est le second terme de la valeur de j
4i CALCUL DES PnOBADILITÉS.
Le raisonnement successivcmcnl apjiliqué à cliacun tli-s cas donnera
